1. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа

Определения и обозначения

Идеальный газ — модель, в которой молекулы считают материальными точками, а их взаимодействием пренебрегают, кроме столкновений. Это упрощение помогает описывать движение огромного числа молекул, не разбирая каждое взаимодействие между ними. Модель подходит, когда собственный размер молекул и их взаимное притяжение мало влияют на свойства газа.

Концентрация молекул n — число молекул в единице объёма. Если в объёме V находится N молекул, то n = N/V; в СИ концентрацию измеряют в м⁻³. Эта величина показывает, насколько плотно молекулы заполняют пространство, и нужна, чтобы связать их количество с давлением газа.

Средняя квадратичная скорость vкв — квадратный корень из среднего значения квадратов скоростей молекул: vкв = √⟨v²⟩. Она отличается от обычной средней скорости, которая получается усреднением самих значений скорости: быстрые молекулы сильнее влияют на среднее квадратов. Квадратичная скорость нужна потому, что с квадратом скорости связана кинетическая энергия движения.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа связывает давление с концентрацией молекул и средней кинетической энергией их хаотического движения. Оно имеет вид p = ⅓ · n · m₀ · vкв² = ⅔ · n · Ēк. Уравнение позволяет объяснить давление через движение частиц и рассчитывать его по микроскопическим характеристикам газа.

Как это устроено

Молекулы газа движутся хаотично и постоянно сталкиваются со стенками сосуда. При ударе скорость молекулы меняется, а вместе с ней меняется и её импульс; по закону сохранения импульса стенка получает противоположный импульс. Многочисленные удары действуют на стенку как сила, а сила, приходящаяся на единицу площади, и есть давление. Поэтому давление зависит от того, насколько часто и насколько сильно молекулы ударяются о стенки.

Чтобы связать удары с движением молекул, рассматривают составляющие их скоростей вдоль трёх взаимно перпендикулярных осей. В газе нет выделенного направления: молекулы движутся хаотично, поэтому в среднем движение вдоль каждой оси равноправно. Средний квадрат полной скорости равен сумме средних квадратов трёх составляющих, а вклад каждой составляющей одинаков. Значит, на одну ось приходится треть среднего квадрата скорости: ⟨vₓ²⟩ = vкв²/3.

Импульсы отдельных молекул различны: одни летят быстрее, другие медленнее, а направления их движения всё время меняются. Давление определяется не ударом одной выбранной молекулы, а совместным средним действием множества молекул на стенки. При подсчёте учитывают концентрацию n, массу одной молекулы m₀ и средний квадрат скорости vкв²; равноправие направлений даёт множитель 1/3. Так получают основное уравнение МКТ: p = ⅓ · n · m₀ · vкв².

Кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы равна Eк = m₀v²/2. Если усреднить её по молекулам газа, получится Ēк = m₀vкв²/2, поскольку среднее значение v² равно vкв². Отсюда m₀vкв² = 2Ēк; подстановка в прежнюю запись даёт равносильную форму p = ⅔ · n · Ēк. Она особенно удобна, когда в задаче известна средняя энергия, а не скорость.

Из обеих формул видно, от чего зависит давление. Если при той же средней энергии в единице объёма становится больше молекул, их удары о стенки в среднем происходят чаще, и давление увеличивается. Если концентрация не меняется, но молекулы движутся энергичнее, удары становятся сильнее и давление тоже растёт. Таким образом, давление определяется и числом частиц в объёме, и интенсивностью их хаотического движения.

Величины и записи основного уравнения МКТ

Сначала проверьте, какие величины даны: для вычислений можно выбрать форму уравнения со скоростью или со средней энергией. Перед подстановкой приведите значения к единицам СИ и не забудьте, что в первой форме скорость возводится в квадрат. Концентрацию находят отдельно, если известны число молекул и объём.

Разбор задач

Задача 1. Найти концентрацию молекул

В сосуде объёмом 2,0 м³ находится 4,0 · 10²⁵ молекул. Требуется найти концентрацию. Здесь известны число частиц и объём, поэтому сразу используем определение n = N/V; никаких сведений о скоростях или массах молекул для этого не требуется.

1. Запишем формулу концентрации: n = N/V. Число молекул равно 4,0 · 10²⁵, объём — 2,0 м³. Деление числа молекул на объём даёт количество частиц в одном кубическом метре.

2. Подставим данные: n = (4,0 · 10²⁵)/2,0 = 2,0 · 10²⁵. Единица объёма в знаменателе означает, что единица ответа — м⁻³. Проверка размерности подтверждает, что найдена именно концентрация.

Ответ: n = 2,0 · 10²⁵ м⁻³.

Задача 2. Найти давление по скорости молекул

Даны концентрация 2,0 · 10²⁵ м⁻³, масса одной молекулы 4,0 · 10⁻²⁶ кг и средняя квадратичная скорость 500 м/с. Требуется вычислить давление газа. Поскольку известны все величины для скоростной формы уравнения, используем p = ⅓ · n · m₀ · vкв².

1. Сначала возведём скорость в квадрат: vкв² = (500 м/с)² = 2,5 · 10⁵ м²/с². Квадрат обязателен, так как в формуле учитывается среднее значение квадратов скоростей. Масса в условии относится к одной молекуле, что соответствует обозначению m₀.

2. Подставим значения: p = ⅓ · 2,0 · 10²⁵ · 4,0 · 10⁻²⁶ · 2,5 · 10⁵. Сначала перемножим числа и степени: n · m₀ = 0,8 кг/м³, затем 0,8 · 2,5 · 10⁵ = 2,0 · 10⁵ Па. Осталось разделить результат на три.

Ответ: p ≈ 6,7 · 10⁴ Па.

Задача 3. Сравнить давление и среднюю энергию

Концентрация газа не меняется, а давление увеличивается в 1,5 раза. Нужно определить, во сколько раз изменилась средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул. Выберем форму p = ⅔ · n · Ēк: в ней прямо сопоставляются давление и энергия, а концентрация входит отдельным множителем.

1. Запишем эту зависимость для двух состояний: p₁ = ⅔ · n · Ēк₁ и p₂ = ⅔ · n · Ēк₂. Так как n одинаково в обоих состояниях, отношение давлений равно отношению средних энергий. Постоянный множитель ⅔ при делении также сокращается.

2. Получаем p₂/p₁ = Ēк₂/Ēк₁. По условию p₂/p₁ = 1,5, поэтому Ēк₂/Ēк₁ = 1,5. Следовательно, средняя кинетическая энергия выросла в столько же раз, что и давление.

Ответ: средняя кинетическая энергия увеличилась в 1,5 раза.

Типичные ошибки

Подстановка обычной средней скорости вместо vкв меняет смысл вычисления: среднее значение скорости не равно корню из среднего квадрата скоростей. Ошибку допускают, потому что обе величины описывают движение молекул и обозначаются похожими словами. Проверьте себя по условию задачи и по формуле: нужна именно величина, квадрат которой связан со средней энергией.

Иногда забывают множитель 1/3 или заменяют его на 1/2. Его происхождение связано не с формулой энергии, а с тем, что равноправное хаотическое движение распределено по трём осям, и в давление вдоль стенки вносит вклад одна составляющая. Для самопроверки вспомните, что множитель 1/2 уже есть в формуле кинетической энергии, а в основном уравнении появляется 1/3.

В формулу могут подставить массу всего газа вместо массы одной молекулы m₀. Такая ошибка возникает из-за того, что в задаче дана масса вещества, а обозначения не проверяют внимательно. Сверьте величину с формулой и единицами: здесь используется масса отдельной молекулы в килограммах, а количество частиц учитывает концентрация n.

Ещё одна ошибка — считать, что давление определяется только числом молекул. Концентрация влияет на частоту ударов, но их сила зависит также от массы молекул и скорости, то есть от средней кинетической энергии. Проверьте вывод по обеим формам уравнения: кроме n, в них присутствуют m₀ и vкв² либо Ēк.

Связь с другими темами

Чтобы понять уравнение МКТ, нужны знания о давлении как силе на единицу площади и об импульсе, который меняется при столкновении. Также понадобятся представления о массе одной молекулы и хаотическом тепловом движении. Средняя кинетическая энергия позволяет перейти от описания скоростей частиц к энергетической форме уравнения.

Уравнение связывает наблюдаемое давление с движением частиц, поэтому служит основой для дальнейшего изучения температуры и уравнения состояния идеального газа. Оно также помогает объяснять давление газа и изменения при тепловых процессах: меняя энергию движения молекул или концентрацию, можно изменить давление. В задачах эти связи позволяют рассуждать о микроскопических причинах макроскопических изменений.

Что запомнить

• Давление газа создаётся ударами молекул о стенки сосуда.
• Концентрация молекул равна отношению их числа к объёму: n = N/V.
• Основное уравнение МКТ: p = ⅓ · n · m₀ · vкв².
• То же уравнение можно записать как p = ⅔ · n · Ēк.
• При неизменной концентрации давление пропорционально средней кинетической энергии молекул.
• В уравнение входит средняя квадратичная скорость, а не обычная средняя скорость.