§ 21. Абсолютная температура и средняя кинетическая энергия молекул

Определения и обозначения

Абсолютная температура — термодинамическая температура, отсчитываемая от абсолютного нуля; её обозначают T и измеряют в кельвинах. Начало этой шкалы связано с предельно низким тепловым состоянием вещества. Абсолютная температура нужна, чтобы описывать тепловое движение частиц и использовать физические формулы с правильным нулевым отсчётом.

Кельвин — единица абсолютной температуры, обозначается K. Изменение температуры на 1 K равно изменению на 1 °C, но нули шкал различаются. Поэтому кельвин удобен для расчётов: значение температуры в нём отсчитывается от абсолютного нуля, а не от точки замерзания воды.

Постоянная Больцмана — коэффициент k, который связывает абсолютную температуру с энергией теплового движения молекул; k ≈ 1,38·10⁻²³ Дж/К. Она одинакова для разных веществ и входит в формулы молекулярно-кинетической теории. С её помощью температуру можно выразить через энергию частиц.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул — среднее значение энергии их хаотического перемещения. Для молекул идеального газа она равна ⟨Eₖ⟩ = 3/2 kT. Речь идёт о среднем для большого числа частиц, а не об одинаковой энергии каждой молекулы; это позволяет связать измеряемую температуру с микроскопическим движением.

Как это устроено

Для описания теплового состояния важно выбрать такой ноль температуры, от которого можно отсчитывать энергию теплового движения. В шкале Цельсия ноль выбран по замерзанию воды, поэтому он не означает отсутствия теплового движения. Абсолютный ноль соответствует нижней границе температуры, и шкала Кельвина начинается именно от него. Перевод выполняют по формуле T = t + 273,15: например, температуре 0 °C соответствуют 273,15 K.

Молекулы вещества постоянно движутся хаотично, а температура связана с интенсивностью этого движения. При нагревании средняя энергия поступательного движения частиц увеличивается, поэтому они в среднем движутся быстрее. При охлаждении эта средняя энергия уменьшается. Температура характеризует не скорость каждой отдельной молекулы, а состояние множества частиц в целом.

Молекулярно-кинетическая теория рассматривает газ как множество хаотически движущихся частиц, которые взаимодействуют друг с другом и со стенками сосуда. Для идеального газа средняя кинетическая энергия поступательного движения выражается формулой ⟨Eₖ⟩ = 3/2 kT. Множитель 3/2 связан с тремя направлениями движения в пространстве, а k переводит температуру в энергетический масштаб. В формуле T обязательно выражают в кельвинах.

Из формулы видно, что средняя кинетическая энергия зависит от абсолютной температуры: при увеличении T в несколько раз во столько же раз увеличивается и ⟨Eₖ⟩. Масса и химический состав молекул в выражение не входят. Поэтому при одной и той же температуре средняя энергия поступательного движения молекул разных идеальных газов одинакова, хотя их скорости могут различаться.

Если известна температура, энергию находят прямой подстановкой в формулу ⟨Eₖ⟩ = 3/2 kT. Если дана энергия, формулу преобразуют: T = 2⟨Eₖ⟩/(3k). Полученное значение будет в кельвинах; чтобы выразить его в градусах Цельсия, из T вычитают 273,15. Такой порядок помогает не смешивать разные шкалы и единицы.

Абсолютная температура и средняя кинетическая энергия молекул

При решении задач сначала определите, какая величина дана и какую требуется найти. Для энергии используйте абсолютную температуру, а для перевода между шкалами — соответствующую формулу. Таблица помогает быстро проверить обозначения, единицы и смысл зависимости.

Разбор задач

Задача 1. Температура газа равна 27 °C. Выразите её в кельвинах.

1. Записываем температуру по Цельсию: t = 27 °C. Ищем T в кельвинах.
2. Используем связь шкал: T = t + 273,15.
3. Подставляем значение: T = 27 + 273,15 = 300,15 K. Для приближённых расчётов это около 300 K.

Ответ: 300,15 K, или приблизительно 300 K. При переводе нужно прибавить 273,15, а не умножать значение в градусах Цельсия.

Задача 2. Найдите среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы идеального газа при температуре 300 K.

1. Температура уже дана в кельвинах, поэтому её можно подставить непосредственно.
2. Записываем формулу: ⟨Eₖ⟩ = 3/2 kT. Подставляем k = 1,38·10⁻²³ Дж/К и T = 300 K.
3. Вычисляем: ⟨Eₖ⟩ = 1,5·1,38·10⁻²³·300 = 6,21·10⁻²¹ Дж. Единица K сокращается с K в знаменателе постоянной.

Ответ: 6,21·10⁻²¹ Дж. Это средняя энергия поступательного движения молекул, а не значение для каждой частицы.

Задача 3. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа равна 6,21·10⁻²¹ Дж. Определите температуру газа и выразите её в градусах Цельсия.

1. Сначала найдём абсолютную температуру, поскольку формула энергии использует кельвины.
2. Преобразуем ⟨Eₖ⟩ = 3/2 kT: T = 2⟨Eₖ⟩/(3k). Подстановка даёт T = 2·6,21·10⁻²¹/(3·1,38·10⁻²³) = 300 K.
3. Переводим в градусы Цельсия: t = T − 273,15 = 300 − 273,15 = 26,85 °C.

Ответ: 300 K, или 26,85 °C (примерно 27 °C). Сначала находят температуру по энергии, и только после этого переходят к шкале Цельсия.

Типичные ошибки

Подстановка температуры в градусах Цельсия в формулу ⟨Eₖ⟩ = 3/2 kT даёт неверный результат, потому что формула использует отсчёт от абсолютного нуля. Ошибку допускают, когда не замечают обозначение T. Перед вычислением проверьте единицу температуры: в формуле должны стоять кельвины.

Нельзя получать абсолютную температуру умножением значения по Цельсию на 273. Шкалы отличаются постоянным смещением, поэтому к t прибавляют 273,15. Для проверки примените формулу T = t + 273,15: при 0 °C должно получиться 273,15 K.

Формула описывает среднюю кинетическую энергию множества молекул, а не энергию каждой отдельной частицы. Отдельные молекулы движутся с разными скоростями, поэтому их энергии могут отличаться. Проверяйте, что в ответе говорится о среднем значении, а не об одинаковой энергии всех молекул.

Средняя кинетическая энергия идеального газа при заданной температуре не зависит от массы или сорта его молекул: этих величин нет в формуле 3/2 kT. Ошибку вызывает смешение энергии и скорости: у более тяжёлых частиц скорость может быть другой. Проверьте, что в задаче сравниваются именно средние энергии при одинаковой температуре.

Связь с другими темами

Для работы с абсолютной температурой нужно уметь переводить значения между шкалами Цельсия и Кельвина. Также необходимы представления о хаотическом тепловом движении молекул и кинетической энергии. Эти идеи соединяют измеряемую температуру с движением частиц на микроскопическом уровне.

Связь температуры и энергии помогает понимать свойства идеального газа и пригодится при изучении его уравнения состояния. Она также встречается в термодинамике, где рассматривают изменение состояния и передачу энергии. Поэтому навык выбирать правильную шкалу температуры важен для дальнейших расчётов.

Что запомнить

• Абсолютную температуру обозначают T и измеряют в кельвинах.
• T = t + 273,15, где t — температура в градусах Цельсия.
• В формулах молекулярно-кинетической теории температуру подставляют только в кельвинах.
• Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы идеального газа равна ⟨Eₖ⟩ = 3/2 kT.
• Чем выше абсолютная температура, тем больше средняя кинетическая энергия молекул.
• При одинаковой температуре средняя кинетическая энергия молекул разных идеальных газов одинакова.