§ 41. Абсолютная температура и средняя кинетическая энергия молекул

Определения и обозначения

Абсолютная температура — температура, отсчитываемая от абсолютного нуля. Её обозначают T и измеряют в кельвинах (К). Эта величина нужна, чтобы напрямую связывать температуру с движением частиц.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы — среднее значение энергии хаотического перемещения молекул; обозначается ⟨Eₖ⟩ и измеряется в джоулях. Она характеризует не одну выбранную молекулу, а большое количество частиц. По ней судят об интенсивности теплового движения.

Постоянная Больцмана — коэффициент k, связывающий абсолютную температуру со средней кинетической энергией молекулы. Её значение k ≈ 1,38·10⁻²³ Дж/К. Она переводит температуру в кельвинах в энергию одной частицы.

Абсолютный нуль — нижний предел температуры, равный 0 К. При приближении к нему средняя кинетическая энергия теплового движения стремится к минимальному значению. Это начало абсолютной шкалы, а не просто ещё одна отметка на шкале Цельсия.

Как это устроено

В молекулярно-кинетической теории температура должна быть связана именно с интенсивностью движения частиц. Шкала Цельсия имеет условный ноль: 0 °C выбран по свойствам воды и не означает отсутствия движения молекул. Поэтому в формулах используют абсолютную температуру: T = t + 273,15, где t задана в градусах Цельсия.

Давление идеального газа возникает из-за ударов молекул о стенки сосуда. Чем быстрее движутся частицы, тем сильнее и чаще они передают стенкам импульс. Поэтому давление выражается через концентрацию молекул n и их среднюю кинетическую энергию: p = (2/3)n⟨Eₖ⟩.

С другой стороны, уравнение состояния идеального газа для единицы объёма записывают как p = nkT. В обеих формулах давление и концентрация описывают одно и то же состояние газа, поэтому правые части можно приравнять: (2/3)n⟨Eₖ⟩ = nkT. После сокращения на n получаем ⟨Eₖ⟩ = (3/2)kT.

Эта формула показывает причину прямой пропорциональности энергии и температуры. Если абсолютная температура возрастает в определённое число раз, во столько же раз возрастает средняя энергия поступательного движения. При этом скорости разных молекул не становятся одинаковыми: меняется среднее значение для всего набора частиц.

Абсолютная температура и средняя кинетическая энергия молекул

Сначала определите, какая величина известна и в каких единицах она дана. Если температура указана в градусах Цельсия, перед подстановкой переведите её в кельвины. Затем выберите связь из последнего столбца и проверьте единицы результата.

Разбор задач

Задача 1. Температура 27 °C

Температура газа равна 27 °C, требуется найти среднюю кинетическую энергию молекулы. В формулу входит абсолютная температура, поэтому сначала меняем шкалу. Используем k ≈ 1,38·10⁻²³ Дж/К.

1. Переводим температуру: T = 27 + 273,15 = 300,15 К ≈ 300 К.
2. Подставляем значение в формулу: ⟨Eₖ⟩ = (3/2)·1,38·10⁻²³·300.
3. Вычисляем: ⟨Eₖ⟩ ≈ 6,21·10⁻²¹ Дж.

Ответ: T ≈ 300 К, ⟨Eₖ⟩ ≈ 6,21·10⁻²¹ Дж. Очень маленькое значение объясняется микроскопическим масштабом энергии одной молекулы.

Задача 2. Нахождение температуры по энергии

Пусть средняя кинетическая энергия молекул равна E₀. Нужно выразить абсолютную температуру через эту энергию. Искомая величина уже должна получиться в кельвинах, если энергия взята в джоулях.

1. Записываем основную зависимость: E₀ = (3/2)kT.
2. Умножаем обе части на 2 и делим на 3k: T = 2E₀/(3k).
3. Проверяем единицы: Дж делится на Дж/К, поэтому результат имеет единицу К.

Ответ: абсолютная температура газа равна T = 2E₀/(3k). Для численного ответа достаточно подставить заданное значение энергии и постоянную Больцмана.

Задача 3. Температура выросла с 300 К до 450 К

Начальная температура равна 300 К, конечная — 450 К, а начальная энергия обозначена E₁. Поскольку температура дана в кельвинах, дополнительный перевод не нужен. Ищем сначала отношение энергий, а затем выражаем новую энергию.

1. Используем прямую пропорциональность: E₂/E₁ = T₂/T₁.
2. Находим отношение: E₂/E₁ = 450/300 = 1,5.
3. Следовательно, E₂ = 1,5E₁, то есть энергия увеличилась в 1,5 раза.

Ответ: средняя кинетическая энергия увеличилась в 1,5 раза. Если, например, E₁ = 4·10⁻²¹ Дж, то E₂ = 6·10⁻²¹ Дж.

Типичные ошибки

Температура в градусах Цельсия в формуле. Так делают, потому что в условии обычно записывают привычные °C. Перед расчётом проверьте, что использовано T = t + 273,15 и в подстановке стоят кельвины.

Удвоение температуры по шкале Цельсия. Числа на шкале Цельсия нельзя сравнивать как абсолютные температуры: 20 °C и 40 °C не дают отношения 1:2. Переведите обе температуры в кельвины и только потом сравнивайте энергии.

Энергия каждой отдельной молекулы. Формула описывает среднее значение, а молекулы в газе имеют разные скорости. Самопроверка проста: если речь идёт о множестве частиц, используйте ⟨Eₖ⟩, а не утверждайте одинаковую энергию всех молекул.

Потеря множителя 3/2 или ошибки в k. Иногда записывают только kT или путают единицы постоянной Больцмана с другими физическими величинами. Перепишите формулу полностью и убедитесь, что Дж/К умножается на К, а результат получается в джоулях.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь связывать давление идеального газа с концентрацией молекул и их средней кинетической энергией. Это объясняет, почему механическое давление можно описывать через движение невидимых частиц.

Тема опирается на уравнение состояния идеального газа и перевод температур между шкалами Цельсия и Кельвина. Без этих двух связей нельзя корректно получить формулу средней энергии.

Связь температуры с движением частиц понадобится при изучении внутренней энергии, тепловых процессов и распределения молекул по скоростям. Она помогает переходить от макроскопических измерений к микроскопической картине вещества.

Что запомнить

• Абсолютную температуру измеряют в кельвинах.
• T = t + 273,15, где t — температура в градусах Цельсия.
• Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы идеального газа равна ⟨Eₖ⟩ = (3/2)kT.
• Постоянная Больцмана k ≈ 1,38·10⁻²³ Дж/К.
• Средняя кинетическая энергия пропорциональна абсолютной температуре.
• Формула относится к среднему значению для множества молекул, а не к каждой молекуле отдельно.