§ 28. Абсолютная температура и средняя кинетическая энергия молекул

Определения и обозначения

Абсолютная температура T — температура, отсчитываемая от абсолютного нуля и измеряемая в кельвинах. Она нужна, чтобы численно описывать интенсивность теплового движения через величину, связную с энергией молекул. В формулах молекулярно-кинетической теории используют именно T.

Кельвин — единица абсолютной температуры; температура в кельвинах связана с температурой по Цельсию соотношением T = t + 273,15. Нулевая отметка этой шкалы соответствует абсолютному нулю. Благодаря ей можно сравнивать температуры и энергии молекул через отношения.

Средняя кинетическая энергия молекул ⟨Eк⟩ — среднее значение кинетической энергии поступательного движения молекул. Отдельные молекулы движутся с разными скоростями, поэтому используют не энергию одной выбранной частицы, а среднее значение. Эта величина характеризует тепловое движение газа.

Постоянная Больцмана k — коэффициент, связывающий абсолютную температуру со средней кинетической энергией молекул. В СИ k = 1,38·10⁻²³ Дж/К. Она переводит температуру, заданную для большого числа частиц, в энергию, приходящуюся на одну молекулу.

Как это устроено

Шкала Цельсия удобна в быту, но её нуль выбран условно: он соответствует температуре плавления льда при определённых условиях. Для молекул важен не этот ориентир, а расстояние до состояния с минимально возможной тепловой энергией. Поэтому в формулах вводят абсолютную температуру, начинающуюся от абсолютного нуля.

Связь шкал получается из расположения их нулевых отметок. Нулю Цельсия соответствует 273,15 К, поэтому к числу градусов Цельсия прибавляют 273,15: T = t + 273,15. Размер одного кельвина равен размеру одного градуса Цельсия, но начало отсчёта у шкал разное.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории имеет вид pV = 2N⟨Eк⟩/3, где N — число молекул. Уравнение состояния идеального газа можно записать как pV = NkT. Приравняем правые части: 2N⟨Eк⟩/3 = NkT. После сокращения на N получаем ⟨Eк⟩ = 3kT/2.

Формула показывает причину прямой пропорциональности: коэффициент 3k/2 постоянен для любой температуры. Если T увеличивается в несколько раз, во столько же раз возрастает и средняя кинетическая энергия поступательного движения. При нагревании молекулы в среднем движутся быстрее, хотя скорости отдельных частиц в каждый момент различны.

Абсолютный нуль соответствует температуре 0 К, при которой классическая формула даёт среднюю поступательную энергию, равную нулю. Однако это предельное состояние нельзя понимать как буквальное полное исчезновение всякого движения молекул. На очень низких температурах проявляются квантовые свойства, а классическая модель идеального газа перестаёт давать полное описание.

Основные величины и связи между ними

Сначала определите, какая величина дана и в каких единицах она выражена. Затем выберите строку с нужной физической величиной и используйте указанную связь. Особенно проверяйте, что температура перед подстановкой переведена в кельвины.

Разбор задач

Задача 1

Найти среднюю кинетическую энергию молекулы при T = 300 К, если k = 1,38·10⁻²³ Дж/К. Искомая величина относится к одной молекуле, поэтому используем формулу с постоянной Больцмана, а не формулу для энергии всего газа.

1. Записываем связь: ⟨Eк⟩ = 3kT/2.
2. Подставляем данные: ⟨Eк⟩ = 3·1,38·10⁻²³·300/2.
3. Выполняем вычисление: ⟨Eк⟩ = 6,21·10⁻²¹ Дж.

Ответ: средняя кинетическая энергия равна 6,21·10⁻²¹ Дж. Единица получается в джоулях, потому что Дж/К умножается на К.

Задача 2

Средняя кинетическая энергия газа равна 6,21·10⁻²¹ Дж. Нужно найти температуру, поэтому неизвестную T выражаем из основной формулы.

1. Из ⟨Eк⟩ = 3kT/2 получаем T = 2⟨Eк⟩/(3k).
2. Подставляем значения: T = 2·6,21·10⁻²¹/(3·1,38·10⁻²³).
3. Считаем и получаем T = 300 К.

Ответ: температура газа равна 300 К. Переводить результат в градусы Цельсия нужно только при необходимости: это будет 26,85 °C.

Задача 3

Сравним энергии молекул одного идеального газа при 250 К и 500 К. Поскольку постоянная Больцмана и множитель 3/2 одинаковы, вычислять каждую энергию отдельно не требуется.

1. Записываем отношение: ⟨Eк2⟩/⟨Eк1⟩ = T2/T1.
2. Подставляем температуры: ⟨Eк2⟩/⟨Eк1⟩ = 500/250 = 2.
3. Делаем вывод: при переходе от 250 К к 500 К энергия увеличивается в два раза.

Ответ: средняя кинетическая энергия при 500 К в 2 раза больше, чем при 250 К. Прямая пропорциональность позволяет получить результат без промежуточного вычисления джоулей.

Типичные ошибки

Температура в градусах Цельсия вместо кельвинов. Ошибка возникает из-за привычки пользоваться бытовой шкалой. Перед решением прибавьте 273,15 и проверьте, что в формуле стоит T в К.

Неверный знак при переводе температуры. Запись T = t − 273,15 смещает значение не в ту сторону, потому что нуль Цельсия расположен выше абсолютного нуля. Самопроверка: 0 °C должно соответствовать 273,15 К.

Пропущен множитель 3/2. Иногда запоминают только зависимость от kT и теряют коэффициент, полученный из трёх направлений поступательного движения. Сверьте итоговую запись с формулой ⟨Eк⟩ = 3kT/2.

Смешение энергии молекулы и энергии газа. Средняя кинетическая энергия относится к одной частице, а полная внутренняя энергия зависит от числа молекул и других видов энергии. Проверьте, есть ли в формуле N или количество вещества, если требуется энергия всего газа.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны понятия идеального газа, давления, объёма, количества вещества и основное уравнение молекулярно-кинетической теории. Они позволяют перейти от наблюдаемых величин к характеристикам отдельных молекул.

Уравнение состояния идеального газа pV = νRT связывает давление, объём и температуру всего газа. Формула ⟨Eк⟩ = 3kT/2 показывает, как та же температура связана с движением одной молекулы.

Полученная связь понадобится при изучении внутренней энергии, теплообмена и первого закона термодинамики. Она объясняет, почему нагревание изменяет энергетическое состояние вещества.

Что запомнить

• Абсолютная температура измеряется в кельвинах и отсчитывается от абсолютного нуля.
• Связь шкал температуры: T = t + 273,15.
• Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы идеального газа равна ⟨Eк⟩ = 3kT/2.
• Средняя кинетическая энергия молекул прямо пропорциональна абсолютной температуре.
• При одинаковой температуре средняя кинетическая энергия молекул идеального газа одинакова независимо от его химического состава.
• Постоянная Больцмана имеет единицу Дж/К.
• Изменение температуры в кельвинах позволяет сравнивать отношение средних кинетических энергий молекул.