§ 41. Абсолютная температура и средняя кинетическая энергия молекул

Определения и обозначения

Абсолютная температура T — физическая величина, характеризующая степень нагретости тела и связанная со средней кинетической энергией хаотического движения его молекул. Чем больше T, тем больше в среднем энергия поступательного движения молекул идеального газа. Эта величина нужна, чтобы описывать тепловое состояние тела через движение его частиц.

Шкала Кельвина — температурная шкала, в которой отсчёт ведётся от абсолютного нуля, а единицей служит кельвин (К). Температуру по этой шкале обозначают T и используют в формулах молекулярно-кинетической теории. Ноль шкалы соответствует предельно низкой температуре, принятой за начало отсчёта.

Постоянная Больцмана k — коэффициент, связывающий абсолютную температуру со средней кинетической энергией одной молекулы. Её значение приблизительно равно 1,38·10⁻²³ Дж/К. Благодаря этому коэффициенту температуру, измеряемую в кельвинах, можно связать с энергией в джоулях.

Средняя кинетическая энергия молекул — среднее значение кинетических энергий поступательного движения молекул газа. Её обозначают ⟨Eк⟩, а угловые скобки показывают, что речь идёт о среднем, а не об энергии конкретной частицы. Эта величина позволяет характеризовать движение множества молекул одним числом.

Как это устроено

Молекулы газа непрерывно и беспорядочно движутся, сталкиваются друг с другом и со стенками сосуда. Температура связана именно с движением частиц, потому что оно составляет микроскопическую основу теплового состояния газа. При нагревании газ получает энергию, и в среднем молекулы начинают двигаться быстрее, поэтому возрастает их средняя кинетическая энергия.

Шкала Цельсия удобна в быту, но её ноль выбран условно: он соответствует замерзанию воды при обычном атмосферном давлении. Для описания энергии нужна шкала, начало которой связано с предельно низкой температурой. Поэтому абсолютную температуру находят по формуле T = t + 273,15, где t — температура в градусах Цельсия; абсолютный нуль равен −273,15 °C, или 0 К.

Связь энергии и температуры получают, сопоставляя уравнение состояния идеального газа с основным уравнением молекулярно-кинетической теории. В обоих описаниях фигурируют давление, объём и число молекул, поэтому эти величины можно приравнять и выразить среднюю энергию одной молекулы. Результат имеет вид ⟨Eк⟩ = 3kT/2: энергия прямо пропорциональна абсолютной температуре.

Скорости молекул газа не одинаковы: одни частицы движутся быстрее, другие медленнее, а после столкновений их скорости меняются. Значит, энергия каждой отдельной молекулы тоже может отличаться от энергии соседних частиц. Формула выражает среднее значение для большого числа молекул, а не точную энергию каждой из них.

В формуле ⟨Eк⟩ = 3kT/2 нет массы молекулы, поэтому при одной и той же температуре средняя кинетическая энергия молекул разных идеальных газов одинакова. Однако их скорости могут различаться: при одной энергии более лёгкие молекулы в среднем движутся быстрее тяжёлых. Это следует из выражения Eк = mv²/2, в котором масса и скорость влияют на энергию совместно.

Зависимость средней энергии от температуры линейная: если температура увеличивается в несколько раз, во столько же раз возрастает и средняя энергия. На графике нормированная величина ⟨Eк⟩/k равна 3T/2, поэтому прямая проходит через начало координат. Например, при 300 К значение ⟨Eк⟩/k равно 450 К.

Абсолютная температура и средняя кинетическая энергия молекул

Таблица помогает быстро найти обозначения, единицы измерения и основные соотношения для каждой величины. При решении задач сначала определите, какая температура дана: в градусах Цельсия или в кельвинах. Для вычисления энергии используйте только абсолютную температуру.

Разбор задач

Задача 1. Переведите 27 °C в кельвины и 400 К в градусы Цельсия. Здесь нужно перейти между шкалами, нули которых различаются на 273,15 градуса. Для перевода в кельвины число прибавляют, а для обратного перехода — вычитают.

1. Для первой температуры используем T = t + 273,15: T = 27 + 273,15 = 300,15 К.
2. Для второй температуры используем t = T − 273,15: t = 400 − 273,15 = 126,85 °C.

Ответ: 27 °C = 300,15 К; 400 К = 126,85 °C. Проверка: температура в кельвинах должна быть выше соответствующей температуры Цельсия на 273,15. Поэтому результаты согласуются с направлением перевода.

Задача 2. Найдите среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы идеального газа при 300 К, если k = 1,38·10⁻²³ Дж/К. Температура уже дана в кельвинах, поэтому перевод не требуется. Ищем энергию одной молекулы по формуле для среднего значения.

1. Записываем формулу: ⟨Eк⟩ = 3kT/2.
2. Подставляем данные: ⟨Eк⟩ = 3·1,38·10⁻²³·300/2 Дж.
3. Вычисляем: ⟨Eк⟩ = 6,21·10⁻²¹ Дж. Порядок величины — 10⁻²¹ Дж, что соответствует очень малой энергии одной молекулы.

Ответ: средняя кинетическая энергия равна 6,21·10⁻²¹ Дж. Единицы согласуются: произведение k на T выражается в джоулях. Полученное значение относится к одной молекуле, а не ко всему газу.

Задача 3. Средняя кинетическая энергия молекул равна 6,21·10⁻²¹ Дж; найдите температуру и сравните её с температурой газа, у которого средняя энергия вдвое меньше. В данном случае неизвестна температура, поэтому преобразуем основную формулу. Для сравнения используем прямую пропорциональность энергии абсолютной температуре.

1. Из ⟨Eк⟩ = 3kT/2 выражаем T: T = 2⟨Eк⟩/(3k).
2. Подставляем: T = 2·6,21·10⁻²¹/(3·1,38·10⁻²³) К = 300 К.
3. Если энергия вдвое меньше, то и температура вдвое меньше: 300/2 = 150 К.

Ответ: температура первого газа равна 300 К, второго — 150 К. Сравнивать нужно температуры в кельвинах, поскольку энергия пропорциональна именно абсолютной температуре. Уменьшение средней энергии в два раза означает такое же уменьшение T.

Типичные ошибки

В формулу ⟨Eк⟩ = 3kT/2 иногда подставляют температуру в градусах Цельсия. Так ошибаются, потому что в условии нередко приводят привычное бытовое значение, но формула использует отсчёт от абсолютного нуля. Проверьте единицу: если указаны °C, сначала вычислите T = t + 273,15.

Абсолютный нуль могут ошибочно трактовать как буквальную остановку всех молекул. Такое упрощение возникает из-за того, что средняя энергия теплового движения в школьной модели при 0 К равна нулю. Для самопроверки формулируйте вывод аккуратно: исчезает тепловое движение в рамках модели, а не обязательно любое движение частиц.

Среднюю энергию одной молекулы путают с суммарной энергией газа. Причина — в обеих величинах рассматривается энергия движения частиц, но средняя относится к одной молекуле, а суммарная складывается по всему количеству молекул. Проверьте смысл ответа и единицу измерения: одна подстановка в формулу даёт среднее для одной частицы.

Из равенства средних энергий при одинаковой температуре делают вывод, что скорости молекул разных газов тоже одинаковы. Это неверно, потому что энергия зависит и от массы, и от скорости: Eк = mv²/2. Проверяя вывод, сравните массы частиц: для меньшей массы при той же энергии нужна большая скорость.

Связь с другими темами

Для вывода формулы средней энергии нужны основное уравнение молекулярно-кинетической теории и уравнение состояния идеального газа: они связывают движение частиц с давлением, объёмом и температурой. Полученная связь помогает изучать внутреннюю энергию идеального газа и применять первый закон термодинамики. Она также нужна для объяснения газовых законов, теплопередачи и распределения скоростей молекул.

Что запомнить

• Абсолютную температуру измеряют в кельвинах.
• T = t + 273,15.
• Абсолютный нуль равен 0 К, или −273,15 °C.
• Средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа пропорциональна абсолютной температуре.
• ⟨Eк⟩ = 3kT/2.
• При одинаковой температуре средняя кинетическая энергия молекул разных идеальных газов одинакова.
• Энергия отдельной молекулы может отличаться от средней энергии.