4. Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева — Клапейрона)

Определения и обозначения

Идеальный газ — модель газа, в которой молекулы считают точечными частицами, а их взаимодействием пренебрегают, кроме столкновений. Это упрощение позволяет описывать газ простыми математическими формулами. Оно хорошо работает, когда размер молекул и их притяжение мало влияют на поведение газа.

Уравнение состояния идеального газа — связь между давлением, объёмом, температурой и количеством вещества газа. Оно показывает, как изменение одного параметра связано с остальными. С его помощью можно вычислить неизвестную характеристику состояния.

Количество вещества — физическая величина, равная отношению числа частиц к постоянной Авогадро; обозначается ν. Единица этой величины — моль. Количество вещества помогает учитывать, сколько частиц газа участвует в процессе, независимо от того, какова масса каждой из них.

Универсальная газовая постоянная R — коэффициент в уравнении состояния, одинаковый для всех идеальных газов. Её значение приблизительно равно 8,31 Дж/(моль·К). Благодаря этому коэффициенту уравнение применимо к разным газам, если их можно считать идеальными.

Как это устроено

Для данной порции газа число молекул не меняется, а её состояние можно описать давлением, объёмом и температурой. Давление показывает, насколько интенсивно молекулы действуют на стенки сосуда, объём задаёт доступное им пространство, а температура связана с их тепловым движением. Если сравнивают разные порции, этих параметров недостаточно: в большем количестве газа обычно больше молекул, поэтому учитывают ещё количество вещества ν.

При неизменной температуре закон Бойля — Мариотта связывает давление и объём: pV = const. При неизменном давлении закон Гей-Люссака устанавливает, что объём пропорционален абсолютной температуре, то есть V/T = const. Объединив эти зависимости, получают pV/T = const для одной и той же порции газа: при изменениях состояния отношение остаётся прежним. Температура здесь должна быть абсолютной, иначе пропорциональность нарушится.

Для неизменной порции значение pV/T постоянно, но у разных порций оно различается, потому что в них разное число молекул. Чем больше количество вещества, тем больше эта константа; значит, она пропорциональна ν. Коэффициент пропорциональности один и тот же для всех идеальных газов и обозначается R. Поэтому зависимость записывают как pV/T = νR, или pV = νRT — это уравнение Менделеева — Клапейрона.

В формуле p — давление в паскалях (Па), V — объём в кубических метрах (м³), T — абсолютная температура в кельвинах (К), а ν — количество вещества в молях (моль). Универсальная газовая постоянная R ≈ 8,31 Дж/(моль·К). При таких единицах произведения в левой и правой частях уравнения согласованы. Если данные даны в других единицах, перед вычислением их переводят в систему СИ.

Если масса газа не меняется, его количество вещества ν тоже постоянно, поэтому из pV = νRT следует pV/T = const. Для двух состояний это записывают так: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂. При постоянном объёме формула сокращается до p₁/T₁ = p₂/T₂, а при постоянном давлении — до V₁/T₁ = V₂/T₂. Во всех этих соотношениях температуру берут в кельвинах, поскольку шкала Цельсия не начинается с абсолютного нуля.

Величины и формы уравнения состояния идеального газа

Сначала выберите строку с нужной величиной и проверьте её единицы. Для расчётов по уравнению состояния особенно важно привести данные к СИ и использовать температуру в кельвинах. Строка для неизменной массы подходит только тогда, когда газ не входит в систему и не выходит из неё.

Разбор задач

Задача 1. В сосуде объёмом 0,020 м³ находится 1,0 моль идеального газа при температуре 300 К. Найдём давление. Из уравнения pV = νRT выразим неизвестное: p = νRT/V. Все величины уже записаны в единицах СИ.

1. Подставим данные: p = 1,0 · 8,31 · 300 / 0,020.
2. Вычислим: p = 124 650 Па.
3. При необходимости выразим ответ в килопаскалях: 124 650 Па ≈ 125 кПа.

Ответ: давление газа примерно равно 1,25 · 10⁵ Па, или 125 кПа. Перед вычислением мы проверили единицы, поэтому дополнительный перевод не потребовался. Давление получено в паскалях, как и требует система СИ.

Задача 2. Масса газа равна 4,0 г, объём — 2,0 л, температура — 300 К, молярная масса — 0,020 кг/моль. Сначала найдём количество вещества, потому что в уравнении состояния используется ν, а не масса. Затем выразим давление из pV = νRT.

1. Переведём массу и объём: m = 0,0040 кг, V = 0,0020 м³.
2. Вычислим количество вещества: ν = m/M = 0,0040/0,020 = 0,20 моль.
3. Найдём давление: p = νRT/V = 0,20 · 8,31 · 300 / 0,0020 = 249 300 Па.

Ответ: p ≈ 2,5 · 10⁵ Па, или 250 кПа. Молярная масса и масса были выражены в килограммах, поэтому отношение m/M получилось в молях. Если оставить литры или граммы без перевода, результат в паскалях будет неверным.

Задача 3. В закрытом сосуде объёмом 10 л давление при 300 К равно 100 кПа. После нагревания оно стало 150 кПа. Найдём конечную температуру. Масса газа и объём не меняются, поэтому из общего соотношения сокращается V и остаётся p₁/T₁ = p₂/T₂.

1. Выразим конечную температуру: T₂ = T₁p₂/p₁.
2. Подставим значения: T₂ = 300 · 150/100 = 450 К.
3. Проверим смысл результата: при неизменном объёме рост давления в 1,5 раза означает такой же рост абсолютной температуры.

Ответ: конечная температура равна 450 К. Объём сосуда не понадобился, потому что он одинаков в обоих состояниях и сократился в уравнении. Давления можно оставить в одинаковых единицах, так как используется их отношение.

Типичные ошибки

В уравнение подставляют температуру в градусах Цельсия, потому что именно так её часто сообщают в условии. Но газовые законы используют абсолютную шкалу, начинающуюся от нуля кельвинов. Переведите температуру по формуле T = t + 273,15 и проверьте, что результат положителен.

Литры, граммы или килопаскали иногда оставляют без перевода, поскольку числа кажутся удобными для расчёта. Это приводит к неверному результату, если остальные величины записаны в единицах СИ. Проверьте размерности перед подстановкой: литры переведите в м³, граммы — в кг, килопаскали — в Па.

Количество вещества ν можно ошибочно принять за массу газа: обе величины описывают количество материала, но измеряются по-разному. В уравнение входит ν в молях, которое находят как ν = m/M, а не просто берут массу из условия. Для самопроверки убедитесь, что делите массу на молярную массу, записанную в согласованных единицах.

Соотношение pV/T = const применяют и тогда, когда часть газа вышла из сосуда или в него добавили газ. Так делать нельзя: постоянство отношения следует из неизменности количества вещества. Проверьте условие задачи — если масса газа меняется, используйте общее уравнение pV = νRT для каждого состояния с соответствующим ν.

Связь с другими темами

Для вывода уравнения состояния нужны законы Бойля — Мариотта и Гей-Люссака, а также понятия давления, объёма и абсолютной температуры. Эти законы описывают отдельные газовые процессы, а уравнение объединяет их в одну зависимость. Поэтому перед решением задач полезно определить, какие параметры остаются постоянными.

Уравнение Менделеева — Клапейрона применяют в задачах на газовые процессы и для вычисления параметров газа. Оно также связывает наблюдаемые величины с молекулярно-кинетической теорией: давление, температура и объём относятся к состоянию всей порции, а количество вещества учитывает число частиц. Так формула помогает переходить от макроскопического описания газа к его частицам.

Что запомнить

• Уравнение идеального газа: pV = νRT.
• Температуру в уравнение подставляют в кельвинах.
• Универсальная газовая постоянная R ≈ 8,31 Дж/(моль·К).
• Количество вещества можно вычислить по формуле ν = m/M.
• Для неизменной массы газа pV/T = const.
• Уравнение связывает давление, объём, температуру и количество вещества газа.