"Физика. Базовый и углубленный уровни (в 2 частях) ", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
Уравнение состояния идеального газа связывает давление, объём, температуру и количество газа. Оно помогает описать состояние газа и рассчитать, как изменится одна величина при изменении других. Главная формула — pV = νRT, где температура выражена в кельвинах, количество вещества — в молях, а R — универсальная газовая постоянная. Для неизменного количества газа из неё следует, что отношение pV/T постоянно.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Идеальный газ — модель газа, в которой размерами молекул и их взаимодействием на расстоянии пренебрегают, а столкновения считают упругими. Это упрощение помогает описывать поведение газа с помощью сравнительно простых формул. Чем разреженнее газ, тем лучше реальные молекулы соответствуют этой модели.
Уравнение состояния идеального газа — связь между давлением, объёмом и температурой газа при заданном количестве вещества. Оно показывает, какие значения этих величин могут одновременно соответствовать одному состоянию газа. С его помощью можно находить неизвестный параметр, если известны остальные.
Количество вещества — величина, характеризующая число частиц в веществе; его обозначают греческой буквой ν и измеряют в молях. Один моль содержит одинаковое для всех веществ число частиц. Количество вещества нужно, чтобы учитывать, сколько газа находится в сосуде, независимо от того, как именно устроены его молекулы.
Универсальная газовая постоянная R — коэффициент в уравнении Менделеева — Клапейрона, одинаковый для всех идеальных газов. Она связывает макроскопические величины газа с количеством вещества и температурой; R ≈ 8,31 Дж/(моль·К). Значение единицы означает, что для одного моля газа произведение давления на объём при увеличении температуры на один кельвин меняется на 8,31 джоуля.
Состояние газа описывают давлением, объёмом, температурой и количеством вещества: каждый параметр характеризует отдельную сторону состояния. Давление связано с ударами молекул о стенки, объём задаёт доступное им пространство, а температура характеризует интенсивность теплового движения. Если количество газа не меняется, параметры уже не могут изменяться независимо друг от друга. Например, при нагревании в закрытом сосуде постоянного объёма давление растёт.
Законы для изопроцессов описывают изменения газа, когда одна из величин постоянна: для данного количества газа при постоянной температуре pV не меняется, а при постоянном давлении V/T остаётся постоянным. Их можно объединить, сравнивая два состояния газа. В обоих случаях получается, что для данной массы газа отношение pV/T имеет одно и то же значение. Поэтому переход между состояниями можно записать как p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂.
Постоянство pV/T для одной и той же массы газа ещё не даёт универсальной формулы для любого количества газа: значение этой постоянной зависит от того, сколько газа взято. Количество вещества ν позволяет учесть это различие. Для одного моля коэффициент пропорциональности равен универсальной газовой постоянной R, а для ν молей он равен νR. Так получается запись pV = νRT, применимая к разным количествам идеального газа.
Физический смысл уравнения в том, что оно устанавливает допустимую связь между измеряемыми параметрами газа и числом его частиц. Оно применимо к идеальному газу, а реальный газ описывает приближённо, особенно хорошо — в разреженном состоянии. Температура T в формуле должна быть абсолютной, то есть выраженной в кельвинах: ноль шкалы Цельсия не соответствует отсутствию теплового движения. Поэтому перед подстановкой температуру переводят по формуле T = t + 273,15.
Если известны масса m и молярная масса M газа, количество вещества можно заменить отношением ν = m/M. Тогда уравнение принимает вид pV = (m/M)RT. Из этой записи неизвестную величину выделяют обычными алгебраическими преобразованиями: например, p = νRT/V, V = νRT/p или T = pV/(νR). Перед вычислением полезно выписать данные, перевести их в согласованные единицы и проверить, что искомая величина стоит одна.
| Что характеризует | Обозначение | Единица СИ | Связь с уравнением |
|---|---|---|---|
| Давление газа | p | Па | p = νRT/V |
| Объём газа | V | м³ | V = νRT/p |
| Абсолютная температура | T | К | T = pV/(νR) |
| Количество вещества | ν | моль | ν = pV/(RT) |
| Универсальная газовая постоянная | R | Дж/(моль·К) | R ≈ 8,31 |
| Уравнение Менделеева — Клапейрона | pV = νRT | — | Основная запись |
| Запись через массу и молярную массу | m, M | кг, кг/моль | pV = (m/M)RT |
Найдите в таблице известные величины и выберите выражение, в котором искомая величина уже выделена. Если известна масса, сначала определите количество вещества по формуле ν = m/M. Следите, чтобы единицы величин соответствовали единицам СИ и выбранному значению R.
В сосуде объёмом 0,010 м³ находится 0,50 моль идеального газа при температуре 300 К. Найдём давление газа. Все данные уже выражены в единицах СИ, поэтому можно сразу использовать R ≈ 8,31 Дж/(моль·К). Неизвестное давление выделим из уравнения состояния.
Ответ: давление газа приблизительно равно 1,25 · 10⁵ Па. Результат выражен в паскалях, так как использованы единицы СИ. При округлении оставлены две значащие цифры, как и в исходных данных.
Газ при неизменных количестве вещества и температуре занимает объём 4,0 л при давлении 150 кПа. Объём уменьшают до 2,5 л; нужно найти новое давление. Количество вещества и температура сохраняются, поэтому произведение pV постоянно. Удобно составить уравнение для начального и конечного состояний.
Ответ: давление станет равным 240 кПа. Оно увеличилось, потому что тот же газ при той же температуре занимает меньший объём. Литры можно оставить в отношении, так как одинаковые единицы объёма сокращаются.
В закрытом баллоне известны масса газа m, его молярная масса M, давление p и температура T; требуется найти объём. Поскольку в условии задана масса, нельзя подставлять её вместо количества вещества. Сначала определим количество вещества, а затем выразим объём из уравнения Менделеева — Клапейрона.
Ответ: объём баллона находят по формуле V = mRT/(Mp). Численное значение можно получить после подстановки известных величин. Такой порядок полезен и в задачах, где вместо объёма требуется найти давление или температуру.
Частая ошибка — подставить в формулу температуру в градусах Цельсия. Это происходит из-за привычки пользоваться повседневной шкалой, однако уравнение требует абсолютную температуру. Проверьте обозначение: в формуле должна стоять T в кельвинах, вычисленная как T = t + 273,15.
Не следует путать массу газа m с количеством вещества ν: килограммы и моли — разные физические величины. Если дана масса, её нельзя напрямую подставлять вместо ν; сначала используйте ν = m/M. Для самопроверки убедитесь, что в уравнении количество вещества задано именно в молях.
Несогласованные единицы давления, объёма и газовой постоянной приводят к неверному ответу даже при правильной формуле. Например, при использовании R в Дж/(моль·К) давление выражают в паскалях, а объём — в кубических метрах. Перед вычислением проверьте единицы каждой величины; если нужно, переведите килопаскали в паскали и литры в кубические метры.
Уравнение идеального газа нельзя считать точным описанием любого газа при любых условиях. Такое упрощение принимают потому, что в некоторых задачах влиянием объёма молекул и их взаимодействия можно пренебречь. Проверьте, допускает ли условие модель идеального газа; особенно осторожно применяйте её при высоком давлении и вблизи сжижения газа.
Для работы с уравнением состояния нужны знания о давлении, объёме и абсолютной температуре, а также о газовых законах для изопроцессов. Именно эти законы дают постоянство pV/T для неизменной массы газа. Уравнение помогает решать задачи, где газ переходит из одного состояния в другое, и связывает такие расчёты с молекулярно-кинетической теорией. В ней свойства газа объясняют движением и взаимодействием его частиц.
Что именно связывает уравнение Менделеева — Клапейрона?
Оно связывает давление p, объём V, абсолютную температуру T и количество вещества ν газа. Если известны любые три из этих величин, можно найти четвёртую.
Почему в уравнение нельзя подставлять температуру в градусах Цельсия?
В уравнении используется абсолютная температура в кельвинах: её отсчёт начинается от абсолютного нуля. Переводят температуру так: T = t + 273,15, где t — температура в градусах Цельсия.
Как найти количество вещества, если известна масса газа?
Разделите массу газа m на его молярную массу M: ν = m/M. Массу и молярную массу при вычислении нужно выражать в согласованных единицах, например в килограммах и килограммах на моль.
Как выбрать значение универсальной газовой постоянной и её единицы?
Если давление задано в паскалях, объём — в кубических метрах, а температура — в кельвинах, используйте R ≈ 8,31 Дж/(моль·К). При других единицах можно выбрать соответствующую запись R, но все величины в формуле должны быть согласованы.
При каких условиях реальный газ можно считать идеальным?
Такое приближение хорошо работает для разреженных газов, когда молекулы находятся далеко друг от друга и их собственным объёмом можно пренебречь. При высоком давлении или температуре, близкой к конденсации, отличия реального газа от модели становятся заметнее.
4. Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева — Клапейрона)
