1. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

Определения и обозначения

Давление идеального газа — результат ударов молекул о стенки сосуда; его обозначают p и измеряют в паскалях, Па. Чем больше передаваемая стенке сила в расчёте на площадь, тем выше давление. Это макроскопальная величина, которую можно связать с движением невидимых частиц.

Концентрация молекул — число молекул в единице объёма: n = N/V. В системе СИ она измеряется в м⁻³. Концентрация нужна, чтобы учитывать не общее число частиц, а их плотность размещения в газе.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы — среднее значение энергии εₖ = m₀v²/2 по всем молекулам газа. В обозначении используют ⟨εₖ⟩, поскольку скорости разных частиц различаются. Эта величина показывает, насколько энергично в среднем движутся молекулы.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории связывает давление газа с концентрацией молекул и средней кинетической энергией: p = 2/3 n⟨εₖ⟩. Оно позволяет перейти от наблюдаемого давления к характеристикам частиц. Для расчётов также используют равную ему форму p = 1/3 nm₀⟨v²⟩.

Как это устроено

Газ оказывает давление потому, что каждая молекула при столкновении со стенкой изменяет свой импульс. При упругом ударе молекула отскакивает, поэтому передаёт стенке импульс, связанный с изменением своей скорости. Чем больше таких столкновений за единицу времени и чем сильнее каждое из них, тем больше давление.

Для вывода формулы мысленно рассматривают газ в кубическом сосуде и одну из его стенок. Молекулы, летящие к стенке, сталкиваются с ней и меняют направление соответствующей составляющей скорости. Подсчёт переданного импульса всех частиц за время показывает, что давление зависит от массы молекулы, числа частиц и квадратов их скоростей.

Движение молекул хаотично: одни летят вправо и влево, другие — вверх и вниз, третьи — вдоль третьего направления. В среднем ни одно направление не выделяется, поэтому вклад движения вдоль одной выбранной оси составляет одну треть общего вклада. Так появляется множитель 1/3 в формуле p = 1/3 nm₀⟨v²⟩.

Средний квадрат скорости связан с энергией формулой ⟨εₖ⟩ = m₀⟨v²⟩/2. Если подставить отсюда m₀⟨v²⟩ в выражение для давления, получится p = 2/3 n⟨εₖ⟩. Эта запись удобна, когда энергия молекул уже известна или находится непосредственно.

Уравнение показывает физическую причину изменения давления. При неизменной энергии большее число молекул в том же объёме означает больше столкновений со стенками, поэтому давление растёт. При неизменной концентрации более энергичное движение приводит к более сильной передаче импульса и также увеличивает давление.

Формы основного уравнения МКТ и обозначения

Сначала определите, какие величины даны в условии, а затем выберите подходящую форму уравнения. Если известны N и V, сначала найдите концентрацию по формуле n = N/V. Перед подстановкой проверьте, что все данные выражены в единицах СИ.

Разбор задач

Задача 1

Условие: в сосуде объёмом 2,0 л находится 5,0·10²² молекул газа. Найти концентрацию. Объём задан не в кубических метрах, поэтому первым делом его нужно перевести в СИ. Используем связь концентрации с числом частиц и объёмом.

1. Переведём объём: 2,0 л = 2,0·10⁻³ м³.
2. Подставим данные: n = N/V = 5,0·10²²/(2,0·10⁻³) м⁻³.
3. Разделим коэффициенты и степени десяти: n = 2,5·10²⁵ м⁻³.

Ответ: n = 2,5·10²⁵ м⁻³. Такой результат означает, что в каждом кубическом метре газа содержится примерно 2,5·10²⁵ молекул.

Задача 2

Условие: n = 2,0·10²⁵ м⁻³, ⟨v²⟩ = 9,0·10⁴ м²/с², m₀ = 4,0·10⁻²⁶ кг. Найти давление. Здесь непосредственно известны величины из формулы p = 1/3 nm₀⟨v²⟩. Поэтому достаточно аккуратно подставить их и проверить размерность.

1. Составим выражение: p = 1/3 · 2,0·10²⁵ · 4,0·10⁻²⁶ · 9,0·10⁴.
2. Перемножим коэффициенты: 2,0 · 4,0 · 9,0 / 3 = 24.
3. Учтём степени: 10²⁵ · 10⁻²⁶ · 10⁴ = 10³, поэтому p = 24·10³ Па.
4. Запишем в стандартном виде: p = 2,4·10⁴ Па.

Ответ: p = 2,4·10⁴ Па. Единица получается паскаль, поскольку исходные величины приведены к СИ.

Задача 3

Условие: давление газа p = 1,0·10⁵ Па, концентрация n = 2,0·10²⁵ м⁻³. Найти среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы. Удобнее применить энергетическую форму основного уравнения и выразить из неё неизвестную величину.

1. Запишем формулу: p = 2/3 n⟨εₖ⟩.
2. Выразим энергию: ⟨εₖ⟩ = 3p/(2n).
3. Подставим числа: ⟨εₖ⟩ = 3·1,0·10⁵/(2·2,0·10²⁵) Дж.
4. Выполним расчёт: ⟨εₖ⟩ = 0,75·10⁻²⁰ Дж = 7,5·10⁻²¹ Дж.

Ответ: ⟨εₖ⟩ = 7,5·10⁻²¹ Дж. Малое значение энергии одной молекулы нормально: макроскопические давление и температура складываются из поведения огромного числа частиц.

Типичные ошибки

Средняя скорость вместо среднего квадрата скорости. В формуле стоит ⟨v²⟩, а не ⟨v⟩², потому что давление связано с передачей импульса и квадратом скорости. Ошибка возникает из-за похожей записи; проверьте, что сначала возводятся в квадрат скорости отдельных молекул.

Потеря множителя 1/3 или 2/3. Эти коэффициенты появляются из-за распределения хаотичного движения по трём направлениям и связи энергии со скоростью. После преобразований сравните выбранную формулу с исходной формой уравнения.

Путаница концентрации и числа молекул. Число N не равно концентрации n: концентрация зависит ещё и от объёма, n = N/V. Если в условии даны N и V, сначала выполните это деление.

Неверные единицы. Литры, граммы и километры в час нельзя бездумно подставлять в формулы СИ. Перед расчётом замените их на м³, кг и м/с, а затем проверьте единицу ответа.

Связь с другими темами

Для вывода уравнения нужны импульс тела, его изменение при упругом столкновении и определение давления. Эти понятия объясняют, почему удар молекулы превращается в измеримую силу на стенке. Без них формула выглядела бы просто набором символов.

Тема опирается на представление о хаотическом движении молекул и модели идеального газа. В этой модели размеры частиц и их взаимодействие вне столкновений считают пренебрежимо малыми. Благодаря этому давление удаётся связать только с движением молекул.

Основное уравнение МКТ понадобится при изучении связи давления и температуры газа. Через него можно понять физический смысл уравнения состояния идеального газа. В дальнейшем оно помогает переходить от микроскопического описания частиц к наблюдаемым характеристикам газа.

Что запомнить

• Давление газа создаётся ударами молекул о стенки сосуда.
• Концентрация молекул равна n = N/V.
• Основное уравнение МКТ: p = 1/3 nm₀⟨v²⟩.
• Эквивалентная форма уравнения: p = 2/3 n⟨εₖ⟩.
• Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы равна ⟨εₖ⟩ = m₀⟨v²⟩/2.
• В формулах ⟨v²⟩ означает среднее значение квадратов скоростей молекул.