"Физика (углублённый уровень)", Касьянов В.А.
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории связывает наблюдаемое давление газа с движением его молекул. Оно показывает, что давление определяется массой одной молекулы, числом молекул в единице объёма и средним квадратом их скорости. С помощью уравнения можно находить давление, плотность, концентрацию или среднюю квадратичную скорость газа, объясняя свойства вещества на уровне частиц.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории связывает давление газа с движением его частиц: p = (1/3)mn⟨v²⟩. Здесь m — масса одной молекулы, n — концентрация, а ⟨v²⟩ — средний квадрат скорости. Уравнение нужно, чтобы объяснить макроскопическое давление через свойства отдельных молекул.
Концентрация молекул — число частиц в единице объёма: n = N/V. Величина N обозначает число молекул, а V — объём газа; единица концентрации — м⁻³. Концентрация показывает, сколько частиц участвует в создании давления в данном объёме.
Средняя квадратичная скорость определяется как √⟨v²⟩: сначала квадраты скоростей усредняют, затем из результата извлекают корень. Она не равна обычной средней скорости и не означает скорость одной конкретной молекулы. Такая величина нужна потому, что давление зависит от передаваемого при ударе импульса, а он связан с квадратом скорости.
Давление газа — это сила, приходящаяся на единицу площади: p = F/S. Оно появляется из-за многочисленных ударов молекул о стенки сосуда. Отдельные столкновения кратковременны и хаотичны, но вместе создают постоянное давление, измеряемое в паскалях.
При столкновении со стенкой молекула меняет импульс. Если удар упругий, перпендикулярная составляющая её скорости меняет знак, поэтому изменение импульса направлено к стенке; стенка получает равный по модулю противоположный импульс. За большое время множество таких передач импульса создаёт среднюю силу, а отношение этой силы к площади и есть давление.
Для вывода удобно взять кубический сосуд с ребром l и рассмотреть одну стенку. Куб выбирают не потому, что настоящий сосуд обязательно имеет такую форму, а потому, что в нём легко определить расстояние между противоположными стенками и время между последовательными ударами. На давление данной стенки влияет только составляющая скорости vₓ, перпендикулярная ей: движение вдоль стенки не передаёт импульс в её нормальном направлении.
За время между ударами о одну и ту же стенку молекула проходит путь 2l, поэтому число ударов за единицу времени связано с vₓ/(2l). При каждом упругом ударе изменение импульса по выбранной оси равно 2mvₓ. Просуммировав такие передачи для всех молекул и разделив полученную силу на площадь стенки, получают p = mn⟨vₓ²⟩.
Движение молекул хаотично: ни одно из трёх взаимно перпендикулярных направлений не выделено. Поэтому средние квадраты составляющих одинаковы: ⟨vₓ²⟩ = ⟨vᵧ²⟩ = ⟨vᵧ²⟩, а v² = vₓ² + vᵧ² + vᵤ². Следовательно, ⟨vₓ²⟩ = ⟨v²⟩/3, и появляется множитель 1/3.
Подстановка этого результата даёт основное уравнение p = (1/3)mn⟨v²⟩. Давление тем больше, чем тяжелее каждая молекула, больше частиц содержится в единице объёма и выше средний квадрат их скорости. Так механическая картина ударов частиц превращается в формулу для измеряемой характеристики газа.
| Форма уравнения | Величины в формуле | Что позволяет определить |
|---|---|---|
| p = (1/3)mn⟨v²⟩ | m — масса молекулы, n — концентрация, ⟨v²⟩ — средний квадрат скорости | Давление p |
| p = (1/3)ρ⟨v²⟩ | ρ — плотность газа, ⟨v²⟩ — средний квадрат скорости | Давление по плотности и движению частиц |
| ⟨v²⟩ = 3p/(mn) | p — давление, m — масса молекулы, n — концентрация | Средний квадрат скорости |
| ⟨v²⟩ = 3p/ρ | p — давление, ρ — плотность газа | Средний квадрат скорости по макроскопическим данным |
Выбирайте форму по тем величинам, которые указаны в условии задачи. Если известны m и n, используйте первую форму, а при известной плотности — вторую. Когда требуется скорость, сначала находят ⟨v²⟩, затем вычисляют √⟨v²⟩.
Задача 1. В сосуде n = 2,0·10²⁵ м⁻³, m = 4,0·10⁻²⁶ кг, а √⟨v²⟩ = 500 м/с. Требуется найти давление. Поскольку в формуле стоит ⟨v²⟩, скорость сначала нужно возвести в квадрат.
Ответ: давление газа равно 6,7·10⁴ Па.
Задача 2. Дано p = 1,2·10⁵ Па, n = 3,0·10²⁵ м⁻³ и m = 4,0·10⁻²⁶ кг. Нужно найти среднюю квадратичную скорость. Сначала найдём средний квадрат скорости, а затем извлечём корень.
Ответ: средняя квадратичная скорость примерно равна 550 м/с.
Задача 3. Давление первоначально равно p₁ = 1,0·10⁵ Па. Плотность увеличили в два раза, а среднюю квадратичную скорость уменьшили в √2 раз. Удобно сравнить не сами скорости, а их квадраты в формуле p = (1/3)ρ⟨v²⟩.
Ответ: давление не изменится и останется равным 1,0·10⁵ Па.
Средняя скорость вместо средней квадратичной. Иногда в формулу подставляют ⟨v⟩ или ⟨v⟩², потому что эти обозначения кажутся похожими. Но МКТ использует ⟨v²⟩, а скорость √⟨v²⟩ получают только после извлечения корня. Проверьте, какая величина дана в условии.
Пропущен множитель 1/3. Его забывают, сводя движение молекул к одному направлению. На самом деле частицы движутся хаотично по трём осям, поэтому вклад одной составляющей равен трети общего среднего квадрата скорости. Перед вычислением выпишите полную формулу.
Концентрацию путают с числом молекул. Величина N — общее число частиц, а n = N/V — число частиц в единице объёма. Если в подстановке стоит N вместо n, размерность результата не даст паскали. Проверьте, есть ли в условии объём или уже указана концентрация.
Учитывают только молекулы, летящие перпендикулярно стенке. Такой подход неверен, потому что столкновения под разными углами тоже передают стенке импульс. Перпендикулярная составляющая скорости просто определяет вклад каждого удара. Проверка проста: в выводе должны учитываться все молекулы, а не только движущиеся вдоль одной линии.
Для вывода уравнения нужны импульс тела и его изменение при столкновении, а также определение давления как силы на единицу площади. Понятия концентрации и плотности связывают микроскопическое описание частиц с измеряемыми свойствами газа. Далее уравнение помогает установить связь температуры с движением молекул и понять, как механика частиц переходит в термодинамику.
Почему давление газа зависит от скорости молекул?
Чем быстрее движутся молекулы, тем больше изменение их импульса при ударах о стенки и тем чаще происходят столкновения. Поэтому давление зависит от среднего квадрата скорости: при увеличении скорости в два раза давление возрастает в четыре раза, если остальные величины постоянны.
Откуда в основном уравнении берётся множитель 1/3?
Молекулы движутся хаотично и в среднем одинаково по трём взаимно перпендикулярным направлениям. Поэтому на долю движения вдоль одной выбранной оси приходится треть среднего квадрата полной скорости.
Чем средняя квадратичная скорость отличается от средней скорости?
Средняя скорость находится усреднением самих значений скоростей, а средняя квадратичная равна √⟨v²⟩. В основном уравнении МКТ используется именно средний квадрат скорости, а не квадрат средней скорости.
Как выбрать между формулами с концентрацией и с плотностью?
Формулу p = (1/3)mn⟨v²⟩ используют, когда известны масса одной молекулы и концентрация. Если дана плотность газа, удобнее применять p = (1/3)ρ⟨v²⟩, поскольку ρ = mn.
Что произойдёт с давлением, если скорость молекул увеличить вдвое?
При неизменных плотности или концентрации давление увеличится в четыре раза, потому что в уравнение входит квадрат скорости. Средняя квадратичная скорость при этом увеличивается только в два раза.
§ 52. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории
