§ 53. Уравнение Клапейрона—Менделеева

Определения и обозначения

Идеальный газ — модель газа, в которой размерами молекул и их взаимодействием вне столкновений пренебрегают. Это упрощение позволяет связать макроскопические параметры газа простой формулой. Модель хорошо работает для разреженных газов.

Количество вещества — величина, характеризующая число частиц; обозначается ν и измеряется в молях. Один моль содержит примерно 6,02·10²³ частиц. Через ν удобно учитывать число молекул, не пересчитывая их по одной.

Универсальная газовая постоянная — постоянная R = 8,31 Дж/(моль·К). Она связывает параметры газа с количеством вещества и абсолютной температурой. Её значение одинаково для всех идеальных газов.

Уравнение Клапейрона—Менделеева — соотношение pV = νRT, связывающее давление, объём, температуру и количество вещества идеального газа. Зная любые три из этих величин и состав газа, можно найти четвёртую. Формула описывает состояние газа, а не отдельный процесс.

Как это устроено

Для идеального газа молекулярно-кинетическая теория даёт уравнение pV = NkT, где N — число молекул, а k — постоянная Больцмана. Количество молекул можно выразить через количество вещества: N = νNₐ, где Nₐ — число Авогадро. Подстановка даёт pV = νNₐkT, или pV = νRT, если объединить постоянные в R = kNₐ.

Связь R = kNₐ объясняет, почему одна и та же газовая постоянная подходит любому идеальному газу. Постоянная k описывает энергию, приходящуюся на одну частицу при данной температуре, а Nₐ переводит расчёт от одной частицы к одному молю. Поэтому R имеет единицы Дж/(моль·К).

Количество вещества можно выразить через массу: ν = m/M. Здесь m — масса всего газа, а M — масса одного моля, то есть молярная масса. После подстановки в основную формулу получается pV = (m/M)RT; эта запись удобна, когда в условии дана масса газа, а не число молей.

В уравнение входят давление p в паскалях, объём V в кубических метрах, температура T в кельвинах и количество вещества ν в молях. Температура должна быть абсолютной: шкала Кельвина начинается от состояния, где тепловое движение практически минимально, поэтому нулю нельзя сопоставлять 0 °C. Для газа в постоянной массе ν не меняется, и изменение p, V или T описывает переход из одного состояния в другое.

Величины и формы уравнения Клапейрона—Менделеева

Сначала определите, какие величины даны и что требуется найти. Если известна масса, используйте строку с молярной массой и формулу ν = m/M. Перед подстановкой проверьте единицы: это помогает обнаружить ошибку ещё до вычислений.

Разбор задач

Задача 1. Определить давление 2 моль идеального газа объёмом 10 л при температуре 300 К. Нужно привести объём к единицам СИ, поскольку R задана в джоулях. После этого неизвестное давление находится непосредственно из основного уравнения.

1. Переведём объём: V = 10 л = 0,010 м³.
2. Выразим давление: p = νRT/V.
3. Подставим значения: p = 2·8,31·300/0,010 ≈ 4,99·10⁵ Па.

Ответ: p ≈ 5,0·10⁵ Па.

Задача 2. Найти объём 4 г гелия при p = 1,0·10⁵ Па и t = 27 °C. Молярная масса гелия M = 4·10⁻³ кг/моль, поэтому сначала найдём количество вещества. Перевод температуры нужен до применения формулы.

1. T = 27 + 273 = 300 К, m = 0,004 кг.
2. ν = m/M = 0,004/(0,004) = 1 моль.
3. V = νRT/p = 1·8,31·300/(1,0·10⁵) ≈ 0,0249 м³.

Ответ: V ≈ 2,49·10⁻² м³, или 24,9 л.

Задача 3. В баллоне V = 20 л находится m = 0,5 кг газа при p = 2,0·10⁶ Па; количество вещества ν известно. Численные значения температуры и молярной массы зависят от заданного ν, поэтому выразим их через него. Переведём объём: V = 0,020 м³.

1. Из pV = νRT получаем T = pV/(νR) = 2,0·10⁶·0,020/(8,31ν) ≈ 4813/ν К.
2. Из ν = m/M получаем M = m/ν = 0,5/ν кг/моль.
3. После подстановки конкретного значения ν проверяем, что T больше нуля, а M соответствует возможному газу.

Ответ: T ≈ 4813/ν К, M = 0,5/ν кг/моль, где ν выражено в молях.

Типичные ошибки

Температура в градусах Цельсия. Ошибка возникает из-за привычки использовать показание термометра напрямую. Подстановка 27 вместо 300 даёт неверный результат; проверяйте себя записью T = t + 273.

Литры и атмосферы без перевода. Литр и паскаль из разных систем единиц нарушают размерность формулы. Переведите объём в м³, давление в Па и убедитесь, что ответ имеет единицу давления или объёма.

Путаница между m и M. Масса m относится ко всему образцу, а M — к одному молю. Проверьте формулу ν = m/M: единицы должны дать моль.

Неучёт идеальности и количества вещества. Уравнение является моделью и предполагает известное или постоянное количество газа. Уточните, не выходит ли газ из системы и допустимо ли приближение идеального газа.

Связь с другими темами

Для понимания уравнения нужны молекулярно-кинетическая теория, понятия давления, объёма, температуры, количества вещества и молярной массы. Формула выводится из pV = NkT и связи N = νNₐ, поэтому показывает связь микромира с измеряемыми величинами.

Уравнение служит основой для изучения газовых законов: законы Бойля—Мариотта, Гей-Люссака и Шарля получаются при постоянстве отдельных параметров. Оно также используется в термодинамике и при расчётах газов в баллонах, двигателях и других технических устройствах.

Что запомнить

• Для идеального газа pV = νRT.
• В уравнении Клапейрона—Менделеева T измеряется в кельвинах.
• Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль·К).
• Количество вещества можно найти по формуле ν = m/M.
• Форма уравнения через массу газа: pV = (m/M)RT.
• При расчётах в СИ давление выражают в паскалях, объём — в кубических метрах.
• Уравнение связывает параметры состояния данной массы идеального газа.