1. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

Определения и обозначения

Давление газа — физическая величина, характеризующая действие газа на стенки сосуда. Оно возникает потому, что молекулы ударяются о стенки и передают им импульс. Чем чаще и сильнее эти удары, тем больше давление. Это понятие позволяет описать суммарное действие огромного числа отдельных частиц.

Концентрация молекул — число молекул в единице объёма: n = N/V, где N — число молекул, а V — объём газа. В СИ её измеряют в м⁻³. Концентрация показывает, насколько плотно частицы заполняют пространство. Она нужна, чтобы связать микроскопическое движение молекул с давлением газа.

Средний квадрат скорости — среднее значение квадратов скоростей всех молекул газа, обозначаемое ⟨v²⟩. Сначала возводят в квадрат скорость каждой молекулы, а затем находят среднее этих значений. Это не то же самое, что квадрат средней скорости. Такая величина учитывает вклад движения частиц в давление.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории связывает давление с массой одной молекулы m₀, концентрацией n и средним квадратом скорости. Его запись: p = ⅓ n m₀⟨v²⟩. Уравнение соединяет наблюдаемую величину — давление — с характеристиками молекулярного движения. По нему можно находить неизвестную величину, если известны остальные.

Как это устроено

Молекулы газа постоянно перемещаются и сталкиваются со стенками сосуда. Во время удара меняется импульс молекулы, а стенка получает импульс противоположного направления. Передача импульса означает, что на стенку действует сила. Поскольку частиц очень много и столкновения происходят непрерывно, их отдельные воздействия складываются в измеримое давление.

Чтобы получить уравнение давления, рассматривают изменение импульса молекул при столкновениях со стенкой. Чем сильнее меняется импульс за единицу времени, тем больше сила, действующая на стенку; давление — это сила, приходящаяся на единицу площади. Для всего газа нужно учесть вклад множества частиц, а не одного удара. Поэтому результат усредняют по молекулам и связывают с их количеством в данном объёме.

Скорости молекул различны по величине и направлению, поскольку движение газа хаотично. Средняя скорость как вектор не описывает интенсивность такого движения: направления частиц могут быть противоположными. Квадрат скорости всегда положителен и показывает, насколько быстро движется молекула независимо от направления. Поэтому при расчёте давления используют среднее значение квадратов скоростей ⟨v²⟩.

Основное уравнение записывается так: p = ⅓ n m₀⟨v²⟩. Здесь n задаёт число молекул в единице объёма, а m₀⟨v²⟩ характеризует вклад движения одной молекулы с учётом её массы. Коэффициент ⅓ появляется при учёте хаотического движения в трёх направлениях: лишь часть общего движения приходится на направление, перпендикулярное стенке. Поэтому давление растёт, если увеличивается концентрация или средний квадрат скорости молекул.

Кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы равна Eₖ = ½m₀v², а среднее значение этой энергии — ⟨Eₖ⟩ = ½m₀⟨v²⟩. Отсюда m₀⟨v²⟩ = 2⟨Eₖ⟩. Подставляя это выражение в уравнение МКТ, получаем равносильную запись: p = ⅔ n⟨Eₖ⟩. Она особенно удобна, когда дана энергия молекул, а не их скорости.

Величины и соотношения в основном уравнении МКТ

Сначала определи, какие величины даны в задаче, и выбери подходящую запись уравнения. Если известна средняя кинетическая энергия, используй вторую форму; если известны m₀ и ⟨v²⟩ — первую. Единицы в подстановке должны быть согласованы с СИ.

Разбор задач

Задача 1. В газе концентрация молекул равна n, масса одной молекулы — m₀, а средний квадрат скорости — ⟨v²⟩. Найдём давление. Поскольку все три характеристики входят в основное уравнение, достаточно подставить их в соответствующие места.

1. Записываем уравнение: p = ⅓ n m₀⟨v²⟩. Оно учитывает вклад всех молекул через концентрацию и средний вклад движения частицы.
2. Подставляем данные вместо обозначений n, m₀ и ⟨v²⟩, сохраняя коэффициент ⅓. Если величины заданы числами, сначала приводим их к единицам СИ.
3. Проверяем размерность: м⁻³ · кг · м²/с² = кг/(м·с²) = Па. Значит, результат выражен в единицах давления.

Ответ: p = ⅓ n m₀⟨v²⟩. Без числовых значений это и есть выражение для давления данного газа.

Задача 2. Известны давление газа p и концентрация молекул n. Требуется найти среднюю кинетическую энергию поступательного движения одной молекулы. Здесь удобнее использовать форму уравнения, в которой энергия уже является неизвестной величиной.

1. Записываем связь давления и энергии: p = ⅔ n⟨Eₖ⟩. Уточняем, что n — число молекул в единице объёма, а ⟨Eₖ⟩ относится к одной молекуле.
2. Умножаем обе части на 3 и делим на 2n. Получаем ⟨Eₖ⟩ = 3p/(2n); важно разделить на концентрацию, а не умножить на неё.
3. Подставляем данные в СИ и проверяем единицы: Па/м⁻³ = Дж/м³ · м³ = Дж. Полученная величина действительно имеет размерность энергии одной молекулы.

Ответ: ⟨Eₖ⟩ = 3p/(2n).

Задача 3. У двух газов одинаковая концентрация молекул, а средний квадрат скорости молекул второго газа вдвое больше, чем первого. Нужно сравнить давления. Одного сравнения скоростей недостаточно: в уравнении присутствуют также массы отдельных молекул.

1. Для каждого газа записываем основное уравнение: p₁ = ⅓ n m₀₁⟨v₁²⟩ и p₂ = ⅓ n m₀₂⟨v₂²⟩. Одинаковые концентрации и коэффициент ⅓ позволяют сравнивать остальные множители.
2. Используем условие ⟨v₂²⟩ = 2⟨v₁²⟩ и составляем отношение p₂/p₁ = 2m₀₂/m₀₁. Так виден вклад и удвоенного среднего квадрата скорости, и массы молекулы второго газа.
3. Если массы молекул равны, давление второго газа вдвое больше. Если массы различаются, окончательное сравнение зависит от отношения m₀₂/m₀₁; без этих данных точное численное отношение найти нельзя.

Ответ: p₂/p₁ = 2m₀₂/m₀₁. Давление второго газа не обязательно ровно вдвое больше: это верно только при равных массах молекул.

Типичные ошибки

Подставлять среднюю скорость ⟨v⟩ вместо среднего квадрата скорости ⟨v²⟩ — ошибка: это разные величины. Её часто допускают, принимая квадрат среднего за среднее квадратов. Проверяй, что именно дано и стоит в формуле; среднее квадратов находят по квадратам скоростей каждой молекулы.

Использовать массу всего газа вместо массы одной молекулы m₀ нельзя. В уравнении уже учтено число частиц через концентрацию n, а масса m₀ относится к отдельной частице. Ошибка возникает из-за того, что в обычных задачах часто оперируют общей массой тела. Проверь обозначение и единицы: m₀ измеряется в килограммах на одну молекулу, а не характеризует весь образец.

Считать концентрацией массу газа в единице объёма тоже неверно. Концентрация молекул n = N/V показывает число частиц на объём, а масса на объём — другая физическая величина. Их путают из-за общего деления на объём. Для проверки посмотри на числитель и единицу: у n единица м⁻³, а не кг/м³.

При преобразованиях можно потерять коэффициент ⅓ или смешать две формы уравнения. Это происходит, если переходить от скорости к энергии, не используя равенство ⟨Eₖ⟩ = ½m₀⟨v²⟩. Перед вычислениями выбери одну форму: p = ⅓nm₀⟨v²⟩ либо p = ⅔n⟨Eₖ⟩. Затем проверь подстановку и размерность результата.

Связь с другими темами

Для понимания вывода нужны понятия давления, импульса и кинетической энергии, а также смысл средней величины. Импульс объясняет передачу действия при ударе, давление связывает силу с площадью, а энергия помогает описать движение частиц. Знание этих понятий позволяет проследить переход от отдельных столкновений к характеристике всего газа.

Связь давления со средней кинетической энергией пригодится при изучении температуры и уравнения состояния идеального газа. Она показывает, что микроскопическое движение молекул связано с макроскопическими свойствами газа. Благодаря этой связи можно сопоставлять температуру, энергию частиц и давление в последующих темах.

Что запомнить

• Давление газа возникает из-за ударов молекул о стенки сосуда.
• Концентрация молекул равна n = N/V.
• Основное уравнение МКТ: p = ⅓ n m₀⟨v²⟩.
• Средняя кинетическая энергия молекулы равна ⟨Eₖ⟩ = ½m₀⟨v²⟩.
• Через среднюю кинетическую энергию уравнение записывают так: p = ⅔n⟨Eₖ⟩.
• На давление влияют концентрация молекул и их средняя кинетическая энергия.