"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 3 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч. 1); Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И., под ред. Орлова В.А. (ч. 2); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 3)
Молекулы газа движутся хаотично и сталкиваются, поэтому в один и тот же момент имеют разные скорости. Для описания такого движения используют наиболее вероятную, среднюю и среднеквадратичную скорости. Они связаны с температурой и массой молекул: при нагревании скорости растут как √T, а более лёгкие молекулы при той же температуре движутся быстрее тяжёлых.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Скорость молекулы — векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения отдельной молекулы. В задачах часто рассматривают её модуль v, то есть только числовое значение скорости. Это нужно потому, что направления молекул хаотичны, а распределение обычно строят именно по модулям скоростей.
Наиболее вероятная скорость — скорость, которой обладает наибольшее число молекул газа при данной температуре. Она определяется по максимуму распределения скоростей. Эта величина показывает, около какого значения сосредоточена самая многочисленная группа молекул.
Средняя скорость — среднее арифметическое модулей скоростей всех молекул газа. Она получается, если сложить модули скоростей и разделить сумму на число молекул. Средняя скорость удобна для общей оценки того, насколько быстро движутся частицы газа.
Среднеквадратичная скорость — величина, связанная со средним квадратом скорости молекул и средней кинетической энергией. Сначала находят среднее значение v², а затем извлекают квадратный корень. Она особенно важна в молекулярно-кинетической теории, поскольку давление и температура связаны именно с квадратами скоростей.
Нельзя считать, что все молекулы газа движутся с одной скоростью, потому что они непрерывно сталкиваются. При столкновении меняются направление движения и количество переданной энергии, поэтому одна молекула ускоряется, а другая может замедлиться. Кроме того, столкновения происходят случайным образом и не синхронно для всех частиц. В результате даже в однородном газе одновременно существуют медленные и быстрые молекулы.
Хаотическое движение приводит к распределению молекул по значениям скорости. Если мысленно разделить диапазон скоростей на небольшие интервалы, в каждый интервал попадёт определённое число частиц. Очень малых скоростей немного, потому что тепловое движение обычно не успевает полностью прекратиться. Очень больших скоростей тоже мало, так как для них нужна необычно большая энергия, а основная часть молекул имеет промежуточные значения.
Наиболее вероятная, средняя и среднеквадратичная скорости различаются, потому что вычисляются по-разному. Наиболее вероятная показывает положение максимума распределения, средняя учитывает все модули скоростей одинаково, а среднеквадратичная сильнее реагирует на быстрые молекулы из-за возведения в квадрат. Для распределения Максвелла выполняется vₘп < v̄ < vₖв. Поэтому нельзя заменять одну характеристику другой без изменения смысла результата.
Распределение скоростей изображают графиком: по горизонтали откладывают скорость, а по вертикали — относительное число молекул или функцию распределения. Самая высокая точка кривой соответствует наиболее многочисленной группе частиц. Скорость, отмеченная под этой точкой, является наиболее вероятной. При повышении температуры кривая смещается в сторону больших скоростей и становится более пологой, потому что диапазон скоростей расширяется.
Из формул видно, что характерные скорости пропорциональны √T и обратно пропорциональны √m. При нагревании увеличивается средняя кинетическая энергия молекул, поэтому растут и их скорости, но не прямо пропорционально температуре. Если температура одинакова, более тяжёлой молекуле для той же энергии соответствует меньшая скорость. Поэтому водород движется в среднем быстрее кислорода при одинаковой температуре.
| Характеристика | Наиболее вероятная скорость | Средняя скорость | Среднеквадратичная скорость |
|---|---|---|---|
| Физический смысл | Скорость, встречающаяся у наибольшего числа молекул | Среднее значение модулей скоростей молекул | Скорость, определяемая средним квадратом скорости |
| Формула | √(2kT/m) | √(8kT/(πm)) | √(3kT/m) |
| Зависимость от температуры | Пропорциональна √T | Пропорциональна √T | Пропорциональна √T |
| Сравнение значений | Меньше средней и среднеквадратичной | Больше наиболее вероятной, но меньше среднеквадратичной | Наибольшая из трёх |
Сначала выберите, какую физическую характеристику требует условие: максимум распределения, среднее значение или связь с энергией. Затем подставьте абсолютную температуру T, массу одной молекулы m и постоянную Больцмана k. Если нужно сравнить скорости, часто достаточно оценить отношение корней, не выполняя полный расчёт.
Условие: найти наиболее вероятную скорость молекул кислорода при T = 300 К, если масса одной молекулы равна m = 5,31 · 10⁻²⁶ кг.
Ответ: наиболее вероятная скорость молекул кислорода при 300 К примерно равна 395 м/с. Это не означает, что каждая молекула движется именно с такой скоростью: это значение соответствует максимуму распределения.
Условие: сравнить наиболее вероятные скорости молекул водорода и кислорода при одинаковой температуре. Масса молекулы водорода примерно в 16 раз меньше массы молекулы кислорода.
Ответ: молекулы водорода движутся быстрее; их наиболее вероятная скорость в 4 раза больше. Температура одинакова, поэтому различие объясняется только массой молекул.
Условие: для гелия при заданной температуре вычислить наиболее вероятную, среднюю и среднеквадратичную скорости и расположить их по возрастанию. Пусть T = 300 К, а масса одной молекулы гелия m = 6,64 · 10⁻²⁷ кг.
Ответ: vₘп < v̄ < vₖв. Различие появляется потому, что эти величины по-разному учитывают распределение молекул по скоростям, особенно вклад быстрых частиц.
Одна скорость у всех молекул. Так думают, заменяя распределение удобным средним значением. Проверьте себя: если в условии говорится о газе, учитывайте диапазон скоростей и уточняйте, какая характеристика требуется.
Путаница средней и среднеквадратичной скорости. Средняя скорость вычисляется по модулям v, а среднеквадратичная — через среднее значение v² и последующий корень. Проверка проста: для газа среднеквадратичная скорость должна быть больше средней.
Прямая пропорциональность температуре. Ошибка возникает из-за невнимательного чтения формулы. В каждой из трёх формул стоит √T, поэтому при увеличении температуры в 4 раза скорость возрастает только в 2 раза.
Игнорирование массы молекулы. Иногда в формулу подставляют массу всего газа или вовсе не учитывают её. Проверьте единицы и смысл: при одинаковой температуре скорость должна уменьшаться как 1/√m.
Для понимания темы нужны основные положения молекулярно-кинетической теории, понятия температуры и постоянной Больцмана. Скорости молекул помогают объяснить давление идеального газа и связь температуры со средней кинетической энергией. Распределение скоростей применяется при изучении диффузии, испарения, эффузии и скоростей химических реакций.
Почему нельзя говорить о единой скорости всех молекул газа?
Молекулы постоянно сталкиваются друг с другом и со стенками сосуда, изменяя направления и модули скоростей. Поэтому в каждый момент есть молекулы, движущиеся медленнее и быстрее некоторого среднего значения.
Чем отличаются наиболее вероятная, средняя и среднеквадратичная скорости?
Наиболее вероятная скорость соответствует максимуму распределения молекул по скоростям. Средняя скорость является средним арифметическим модулей скоростей, а среднеквадратичная находится через среднее квадратов скоростей и оказывается самой большой из трёх.
Почему при нагревании газа скорости молекул увеличиваются не прямо пропорционально температуре?
Температура связана со средней кинетической энергией, которая пропорциональна квадрату скорости. Поэтому сама скорость пропорциональна не T, а √T: при увеличении температуры в 4 раза характерная скорость возрастает в 2 раза.
Какие молекулы движутся быстрее при одинаковой температуре: лёгкие или тяжёлые?
При одинаковой температуре быстрее движутся лёгкие молекулы. Их характерная скорость обратно пропорциональна √m, где m — масса одной молекулы.
Как по графику распределения определить наиболее вероятную скорость?
Нужно найти точку максимума графика распределения. Значение скорости на горизонтальной оси, соответствующее этой точке, и есть наиболее вероятная скорость.
3. Скорости молекул
