§ 38. Уравнение Менделеева — Клапейрона

Определения и обозначения

Идеальный газ — модель газа, в которой размерами молекул и их взаимодействием вне столкновений пренебрегают. Такое упрощение удобно, когда молекулы расположены далеко друг от друга и почти не влияют друг на друга на расстоянии. Поэтому модель хорошо описывает разреженные газы при невысоком давлении и температуре, далёкой от сжижения.

Уравнение Менделеева — Клапейрона — уравнение состояния идеального газа, связывающее давление p, объём V, температуру T и количество вещества ν: pV = νRT. Оно показывает, какие сочетания этих величин могут соответствовать одному состоянию газа. С его помощью можно вычислить неизвестный параметр, если остальные известны.

Количество вещества — физическая величина ν, характеризующая число частиц в образце и измеряемая в молях. Один моль содержит определённое число частиц, поэтому эта величина позволяет учитывать состав газа без подсчёта каждой молекулы. В расчётах ν связывает микроскопический состав образца с его измеряемыми параметрами.

Универсальная газовая постоянная R — постоянная, одинаковая для всех идеальных газов; её значение приблизительно равно 8,31 Дж/(моль·К). Она согласует единицы давления, объёма, количества вещества и температуры в уравнении. Благодаря её универсальности формула подходит для любого газа, если он достаточно хорошо описывается идеальной моделью.

Как это устроено

Уравнение объединяет несколько закономерностей, установленных для газа при разных постоянных условиях. Если температура и количество вещества неизменны, из pV = νRT следует pV = const — закон Бойля — Мариотта. При постоянном давлении и количестве вещества объём пропорционален абсолютной температуре, что соответствует закону Гей-Люссака; при постоянных давлении и температуре объём пропорционален количеству вещества — это закон Авогадро. Значит, отдельные законы являются частными случаями общего уравнения.

В формуле используется температура в кельвинах, потому что именно она отсчитывается от абсолютного нуля и связана со средней энергией теплового движения частиц. Шкала Цельсия имеет другой ноль: 0 °C не означает отсутствия теплового движения. Если подставить число градусов Цельсия, пропорциональность между температурой и произведением pV нарушится, а расчёт даст неверный результат. Для перевода используют T = t + 273,15.

Произведение pV определяется температурой газа и количеством вещества: при неизменном количестве нагревание увеличивает pV. Если температура постоянна, увеличение количества вещества также увеличивает это произведение. При заданных T и ν уравнение задаёт связь между давлением и объёмом: например, при уменьшении объёма давление должно вырасти. Это не означает, что p или V по отдельности определяются только одним параметром: результат зависит от условий и других величин.

В задачах часто дана масса, а не количество вещества, поэтому используют молярную массу M — массу одного моля вещества. Связь между величинами записывается как ν = m/M, где m — масса образца. Подстановка этого выражения в основное уравнение даёт pV = (m/M)RT. Так можно сразу работать с массой, если известен состав газа и, следовательно, его молярная масса.

Чтобы найти неизвестную величину, сначала записывают уравнение для нужного состояния и выражают из него искомый параметр. Например, для давления p = νRT/V, а для объёма V = νRT/p. Если рассматривают два состояния одного и того же газа, количество вещества не меняется, поэтому p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂. Эта запись особенно полезна, когда по условию постоянны давление, объём или температура: постоянную величину можно сократить.

Величины и формы уравнения Менделеева — Клапейрона

Перед подстановкой сверяйте единицы: давление переводите в паскали, объём — в кубические метры, массу — в килограммы, если используете СИ. Выбирайте форму с ν, если дано количество вещества, и форму с m/M, если известна масса. Формула плотности получается из уравнения состояния после замены m/V на ρ.

Разбор задач

Задача 1. Найти давление 2 моль идеального газа при температуре 300 К, занимающего объём 0,05 м³.

Нужно определить давление, а остальные параметры состояния уже известны. Поэтому используем p = νRT/V и проверяем, что единицы согласованы: моли, кельвины и кубические метры соответствуют СИ. Газовую постоянную округлим до 8,31 Дж/(моль·К).

1. Запишем данные: ν = 2 моль, T = 300 К, V = 0,05 м³. Искомая величина — p, поэтому выражаем её из уравнения состояния. Получаем p = νRT/V.
2. Подставим числа: p = 2 · 8,31 · 300 / 0,05. Сначала числитель равен 4986, затем деление на 0,05 даёт 99 720 Па. Результат можно округлить до 1,0 · 10⁵ Па.

Ответ: p ≈ 9,97 · 10⁴ Па, или примерно 100 кПа.

Задача 2. Определить объём 16 г кислорода при температуре 27 °C и давлении 100 кПа.

В условии даны масса и название газа, значит, сначала найдём количество вещества через молярную массу кислорода. Температуру переведём в кельвины, а давление — в паскали. Для кислорода O₂ молярная масса M = 32 г/моль = 0,032 кг/моль.

1. Переведём температуру: T = 27 + 273,15 ≈ 300 К. Давление равно 100 кПа = 100 000 Па. Количество вещества ν = m/M = 16/32 = 0,5 моль.
2. Выразим объём: V = νRT/p. Подставим значения: V = 0,5 · 8,31 · 300 / 100 000 ≈ 0,0125 м³. Это соответствует примерно 12,5 л, поскольку 1 м³ = 1000 л.

Ответ: V ≈ 0,0125 м³, или 12,5 л.

Задача 3. Газ массой 10 г при нагревании от 300 К до 450 К расширяется при постоянном давлении. Начальный объём равен 2 л. Найти конечный объём.

Количество газа не меняется, а по условию постоянно давление. Запишем уравнение состояния сначала для начального, затем для конечного состояния. В обоих уравнениях одинаковы p, ν и R, поэтому эти величины сокращаются, и остаётся зависимость V/T = const.

1. Составим равенство для двух состояний: V₁/T₁ = V₂/T₂. Отсюда V₂ = V₁T₂/T₁. Масса 10 г здесь не требуется: достаточно того, что количество вещества не изменяется.
2. Подставим значения: V₂ = 2 · 450/300 = 3 л. Проверка здравого смысла помогает оценить результат: абсолютная температура выросла в 1,5 раза, поэтому при постоянном давлении во столько же раз должен увеличиться объём.

Ответ: конечный объём равен 3 л.

Типичные ошибки

Подстановка температуры в градусах Цельсия. Так делают, потому что температура в условии часто указана именно в этой шкале. Но уравнение использует абсолютную температуру: при 0 °C тепловое движение не исчезает. Перед расчётом проверьте, что перевод выполнен по формуле T = t + 273,15 и результат записан в кельвинах.

Несогласованные единицы давления и объёма. Например, литры могут подставить в уравнение вместе с паскалями, не заметив, что в СИ объём выражается в кубических метрах. Тогда численный ответ окажется неверным даже при правильно выбранной формуле. Выпишите единицы рядом с данными и переведите 1 л в 0,001 м³, а 1 кПа — в 1000 Па.

Путаница между ν, m и M. Количество вещества измеряется в молях, масса — в килограммах или граммах, а молярная масса — в единицах массы на моль. Их нельзя подставлять вместо друг друга: связь задаёт формула ν = m/M. Проверяйте, что при вычислении ν масса и молярная масса приведены к согласованным единицам.

Применение уравнения без проверки условий или самовольное допущение о постоянстве величины. Формула относится к модели идеального газа, а переход к уравнению для двух состояний требует неизменного количества вещества. Ошибку допускают, когда переносят из задачи условие, которого в ней нет, например постоянное давление. Перед решением отметьте, что именно дано как постоянное, и убедитесь, что приближение идеального газа подходит.

Связь с другими темами

Для работы с уравнением нужны понятия молекулярно-кинетической теории, давления, объёма и температуры, а также количество вещества и молярная масса. Оно опирается на законы Бойля — Мариотта, Гей-Люссака и Авогадро и объединяет их в общей записи. Позже уравнение помогает разбирать газовые процессы, изучать отклонения реальных газов от идеальной модели и решать задачи по термодинамике. Связь массы, молярной массы и количества вещества также часто используют в химических расчётах.

Что запомнить

• Уравнение Менделеева — Клапейрона описывает состояние идеального газа.
• Основная форма уравнения: pV = νRT.
• Температуру в расчётах нужно выражать в кельвинах.
• В СИ давление измеряют в паскалях, объём — в кубических метрах.
• Количество вещества связано с массой формулой ν = m/M.
• Газовая постоянная имеет значение R ≈ 8,31 Дж/(моль·К).
• Уравнение позволяет связать параметры газа в одном состоянии или сравнить два состояния.