41. Температура и средняя кинетическая энергия молекул

Определения и обозначения

Температура — физическая величина, характеризующая тепловое состояние тела; в молекулярно-кинетической теории она связана со средней кинетической энергией хаотического движения молекул. Это позволяет объяснить тепловое состояние не только ощущениями, но и движением частиц. Чем интенсивнее их хаотическое движение, тем выше температура.

Абсолютная температура T отсчитывается от абсолютного нуля и измеряется в кельвинах (К). Шкала Кельвина начинается с точки, которой соответствует 0 К; размер деления в ней такой же, как в шкале Цельсия. Для перевода используют соотношение T = t + 273,15, где t — температура в градусах Цельсия.

Средняя кинетическая энергия теплового движения молекул — среднее значение энергии хаотического поступательного движения молекул вещества. Кинетическая энергия отдельной частицы зависит от её скорости, а скорости различаются, поэтому одной величиной описывают усреднённое движение множества молекул. В формуле для идеального газа речь идёт об энергии одной молекулы.

Постоянная Больцмана k — коэффициент пропорциональности между абсолютной температурой и средней кинетической энергией одной молекулы. Она связывает макроскопическую величину — температуру — с энергией микрочастиц. Её значение приблизительно равно 1,38·10⁻²³ Дж/К.

Как это устроено

В газе молекулы движутся хаотически, сталкиваются друг с другом и со стенками сосуда. Между столкновениями их скорости могут быть различными, а значит, различаются и кинетические энергии. Поэтому состояние газа нельзя полно описать энергией одной выбранной молекулы: используют среднее значение для большого числа частиц.

При нагревании телу передаётся энергия, из-за чего в среднем усиливается хаотическое движение его молекул. Средняя скорость и средняя кинетическая энергия частиц возрастают, и температура становится выше. При охлаждении среднее движение ослабевает, поэтому уменьшается и средняя энергия. Отдельные молекулы при этом всё равно могут двигаться быстрее или медленнее среднего.

Для идеального газа средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы определяется формулой ⟨Eₖ⟩ = 3/2 kT. Здесь ⟨Eₖ⟩ обозначает среднее значение энергии, k — постоянную Больцмана, а T — абсолютную температуру в кельвинах. Множитель 3/2 появляется потому, что поступательное движение возможно по трём независимым направлениям: вдоль трёх координатных осей. Вклад каждого направления в среднюю энергию одинаков.

Формула показывает, что средняя энергия прямо пропорциональна абсолютной температуре: при увеличении T во столько же раз увеличивается ⟨Eₖ⟩. Если температуры двух идеальных газов одинаковы, то совпадают и средние поступательные кинетические энергии их молекул. Массы молекул при этом могут быть разными: более тяжёлые частицы в среднем движутся медленнее, а более лёгкие — быстрее. Произведение массы на квадрат скорости в среднем даёт одно и то же значение энергии.

Температуру по шкале Цельсия нельзя напрямую подставить вместо T, потому что её ноль выбран условно, а формула использует отсчёт от абсолютного нуля. Сначала переводят градусы Цельсия в кельвины по правилу T = t + 273,15. Например, 0 °C соответствует 273,15 К, а не 0 К. После перевода вычисление энергии выполняют с абсолютной температурой.

Связь температуры и средней кинетической энергии молекул

В таблице сначала найдите обозначение и единицу нужной величины, затем выберите подходящую связь. Если температура дана в градусах Цельсия, перед вычислением энергии переведите её в кельвины. Проверьте, что энергия получилась в джоулях.

Разбор задач

Температура газа равна 27 °C. Выразите её в кельвинах.

Нужно перейти от шкалы Цельсия к абсолютной шкале, поскольку температура в кельвинах отсчитывается от абсолютного нуля. Используем T = t + 273,15, где t = 27 °C. Здесь не требуется формула средней энергии: задача проверяет перевод единиц температуры.

1. Записываем известное значение: t = 27 °C.
2. Подставляем его в соотношение: T = 27 + 273,15.
3. Вычисляем: T = 300,15 К.

Ответ: 300,15 К. Для приближённых вычислений в школьных задачах часто используют 273 вместо 273,15, тогда результат округляют до 300 К. В дальнейших расчётах важно придерживаться точности, принятой в условии.

Найдите среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы идеального газа при температуре 300 K. Используйте k = 1,38·10⁻²³ Дж/К.

Искомая энергия относится к одной молекуле, поэтому используем формулу ⟨Eₖ⟩ = 3/2 kT. Температура уже задана в кельвинах, перевод не нужен. Подставим значения и проследим за единицами, чтобы убедиться, что получаем джоули.

1. Записываем формулу: ⟨Eₖ⟩ = 3/2 kT.
2. Подставляем известные величины: ⟨Eₖ⟩ = 3/2 · 1,38·10⁻²³ · 300.
3. Вычисляем: 1,38·300 = 414; затем 414·3/2 = 621. Получаем 621·10⁻²³ Дж = 6,21·10⁻²¹ Дж.
4. Проверяем единицы: (Дж/К)·К = Дж, значит, результат выражен в единицах энергии.

Ответ: ⟨Eₖ⟩ = 6,21·10⁻²¹ Дж. Малое значение ожидаемо: речь идёт об одной молекуле, а не обо всём газе. Множитель 3/2 учитывает поступательное движение по трём направлениям.

Средняя кинетическая энергия молекул одного газа в два раза больше, чем другого. Во сколько раз различаются абсолютные температуры газов?

Для обоих идеальных газов действует одна и та же зависимость ⟨Eₖ⟩ = 3/2 kT. Постоянная Больцмана одинакова, поэтому в сравнении энергий отношение 3/2 k сокращается. Значит, отношение средних энергий совпадает с отношением абсолютных температур.

1. Записываем пропорциональность: ⟨Eₖ⟩ ∝ T.
2. По условию отношение энергий равно двум: ⟨Eₖ₁⟩/⟨Eₖ₂⟩ = 2.
3. Следовательно, T₁/T₂ = 2, то есть абсолютная температура первого газа вдвое больше температуры второго.

Ответ: температуры различаются в 2 раза. Сравнивать нужно значения в кельвинах, потому что пропорциональность установлена для абсолютной температуры. Если в условии даны градусы Цельсия, сначала каждый результат переводят в кельвины.

Типичные ошибки

Подстановка температуры в градусах Цельсия вместо кельвинов даёт неверную энергию, потому что ноль шкалы Цельсия не совпадает с абсолютным нулём. Эту ошибку допускают, если не замечают, что в формуле указана абсолютная температура T. Перед расчётом проверьте единицу температуры и, если нужно, прибавьте 273,15.

Иногда считают, что у всех молекул газа одна и та же кинетическая энергия. Но частицы движутся с разными скоростями, поэтому формула задаёт среднее значение, а не энергию каждой молекулы. Проверка простая: спросите себя, относится ли величина к отдельной частице или описывает множество молекул в среднем.

Можно ошибочно решить, что при одинаковой температуре молекулы разных газов имеют разные средние поступательные энергии из-за различия их масс. Массы действительно влияют на характерные скорости частиц, но в формуле средней энергии для идеального газа их нет. Проверьте вывод сравнением значений T: одинаковые температуры дают одинаковые средние энергии.

Среднюю энергию одной молекулы иногда принимают за полную энергию газа. Это разные величины: для полной энергии требуется учесть, сколько молекул входит в газ. Ошибка возникает при потере смысла обозначения ⟨Eₖ⟩. Перед ответом проверьте, спрашивается ли энергия одной частицы или всего количества вещества.

Связь с другими темами

Для понимания этой темы нужно знать, что молекулы непрерывно и хаотически движутся, а кинетическая энергия зависит от скорости частицы. Также понадобится умение находить энергию по массе и скорости и переводить температуру из градусов Цельсия в кельвины. Связь температуры с движением молекул помогает перейти к уравнению состояния идеального газа и объяснять тепловые явления на молекулярном уровне. Так микроскопическое движение частиц связывается с измеряемыми свойствами газа.

Что запомнить

• Температура связана со средней кинетической энергией хаотического движения молекул.
• Для идеального газа ⟨Eₖ⟩ = 3/2 kT.
• В формуле T измеряется в кельвинах.
• При одинаковой температуре средняя поступательная кинетическая энергия молекул идеальных газов одинакова.
• Постоянная Больцмана k ≈ 1,38·10⁻²³ Дж/К.
• Повышение абсолютной температуры означает увеличение средней кинетической энергии молекул.