5. Классический закон сложения скоростей

Определения и обозначения

Система отсчёта — это тело отсчёта, связанная с ним система координат и часы, относительно которых описывают движение. Она нужна, потому что скорость тела имеет смысл только по отношению к выбранной системе. Например, пассажир покоится относительно сиденья, но движется относительно земли.

Скорость тела относительно системы отсчёта показывает, как быстро и в каком направлении меняется его положение в этой системе. В классической механике движение одной системы отсчёта относительно другой задают вектором u, а скорость тела в движущейся системе обозначают v′. Эти обозначения позволяют не смешивать скорости одного тела для разных наблюдателей.

Классический закон сложения скоростей устанавливает связь между скоростью v тела в неподвижной системе и скоростью v′ в системе, движущейся со скоростью u: v = u + v′. Это равенство векторов, поэтому нужно учитывать направления, а не только численные значения. Закон нужен, чтобы переводить скорость из одной системы отсчёта в другую.

Как это устроено

Скорость показывает изменение положения за время, а положение тела зависит от выбранной точки отсчёта. Если начало движущейся системы смещается, то за тот же промежуток времени тело получает дополнительное перемещение вместе с этой системой. Поэтому скорость относительно неподвижной системы складывается из скорости тела внутри движущейся системы и скорости самой системы.

Пусть система K′ движется относительно системы K со скоростью u. За время Δt начало K′ смещается на uΔt, а тело относительно K′ — на v′Δt. В системе K перемещение тела равно сумме этих двух перемещений: Δr = uΔt + v′Δt. Деление на Δt даёт формулу v = u + v′; именно поэтому закон относится к векторам.

При движении вдоль одной прямой удобно выбрать положительное направление, например вправо. Скорости в этом направлении записывают со знаком плюс, а в противоположном — со знаком минус. Тогда в формуле достаточно сложить числа с учётом знаков: положительный результат означает движение вправо, отрицательный — влево.

Если пассажир идёт по движущемуся вагону в ту же сторону, что и поезд, его скорость относительно земли больше скорости поезда. Если он идёт навстречу движению поезда, его скорость относительно земли меньше. При достаточно большой встречной скорости пассажир может даже двигаться относительно земли в обратную сторону; знак суммы покажет это без дополнительных правил.

Классический закон связан с преобразованиями Галилея: время в обычных системах отсчёта считают одинаковым, а координаты отличаются на смещение движущейся системы. Поэтому скорости складываются просто. Такое приближение подходит для повседневных движений, но при скоростях, близких к скорости света, его заменяет релятивистский закон.

Скорости в разных системах отсчёта

В таблице положительным выбрано направление движения системы отсчёта, поэтому встречная скорость записана со знаком минус. Пользуйся ею после того, как определишь направления движения и выберешь ось. Если сумма со знаком отрицательна, тело движется против выбранного положительного направления.

Разбор задач

Поезд движется относительно земли со скоростью 20 м/с. Пассажир идёт по вагону со скоростью 1,5 м/с относительно поезда. Найдём скорость пассажира относительно земли в двух случаях: когда он идёт вперёд, по направлению движения поезда, и когда идёт назад. Скорость поезда в задаче считается постоянной.

1. Выбираем систему отсчёта K, связанную с землёй, и систему K′, связанную с поездом. Положительным считаем направление движения поезда. Тогда скорость системы K′ относительно K равна u = +20 м/с.

2. Записываем скорость пассажира относительно поезда со знаком. При движении вперёд v′ = +1,5 м/с, а при движении назад v′ = −1,5 м/с. Знак меняется, потому что направление движения пассажира относительно вагона меняется.

3. Применяем закон v = u + v′ для движения вперёд: v = 20 + 1,5 = 21,5 м/с. Положительный знак показывает, что относительно земли пассажир движется по направлению движения поезда.

4. Для движения назад получаем v = 20 + (−1,5) = 18,5 м/с. Скорость остаётся положительной, значит пассажир всё ещё движется вперёд относительно земли, хотя и медленнее поезда.

Ответ: при ходьбе вперёд скорость пассажира относительно земли равна 21,5 м/с, при ходьбе назад — 18,5 м/с. Проверка здравого смысла подтверждает результат: в первом случае пассажир должен двигаться быстрее поезда, во втором — медленнее.

Типичные ошибки

• Складывают модули, не учитывая направление. Так часто поступают, потому что в условии скорости даны положительными числами. Перед вычислением выбери ось и поставь знак минус у скорости, направленной против неё; затем проверь, соответствует ли знак результата направлению движения.

• Путают, относительно чего дана скорость. Скорость пассажира относительно поезда нельзя сразу считать скоростью относительно земли. Уточни для каждой величины систему отсчёта и проверь, что в формуле складываются скорость тела относительно движущейся системы и скорость этой системы относительно выбранной.

• Меняют местами систему отсчёта и тело. Из-за этого можно приписать скорости поезда неверный знак или получить скорость тела относительно поезда вместо скорости относительно земли. Проверь словесно: искомая скорость должна описывать движение именно относительно той системы, которую спрашивают в задаче.

Связь с другими темами

Закон сложения скоростей опирается на понятия перемещения и скорости: сложение перемещений за одинаковый промежуток времени приводит к сложению скоростей. Он также связан с системами отсчёта и относительностью механического движения, поскольку один и тот же объект может иметь разные скорости для разных наблюдателей. В задачах закон часто применяют вместе с равномерным движением, используя формулу пути s = vt. Для околосветовых скоростей классическое правило уступает место релятивистскому.

Что запомнить

• Скорость всегда указывают относительно выбранной системы отсчёта.

• Для перехода между классическими системами отсчёта используют формулу v = u + v′.

• Скорости складывают как векторы; на одной прямой направления учитывают знаками.

• При обычных скоростях формула работает хорошо, но для скоростей, близких к скорости света, нужна теория относительности.