"Физика (базовый уровень)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.
При свободных гармонических колебаниях энергия не исчезает, а переходит из одной формы в другую. Пружинный маятник в равновесии движется быстрее всего, а в крайних точках на мгновение останавливается. Если потерями можно пренебречь, сумма кинетической и потенциальной энергий остаётся постоянной. Это позволяет находить скорость, смещение и полную энергию системы, даже не зная, как именно меняется движение во времени.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Кинетическая энергия колеблющегося тела выражается формулой Eк = mv²/2, где m — масса, а v — скорость. Она показывает, сколько энергии связано с движением тела. При увеличении скорости кинетическая энергия возрастает, поэтому в разных точках траектории она может быть разной.
Потенциальная энергия пружинного маятника определяется формулой Eп = kx²/2, где k — жёсткость пружины, а x — смещение тела от положения равновесия. Она связана с деформацией пружины: чем дальше тело от равновесия, тем сильнее растянута или сжата пружина. Квадрат смещения показывает, что энергия не зависит от того, в какую сторону смещено тело.
Полная механическая энергия — сумма кинетической и потенциальной энергий: E = Eк + Eп. Она учитывает одновременно энергию движения и энергию взаимодействия тела с пружиной. Для системы без потерь эта сумма сохраняется и помогает связать скорость тела с его положением.
Амплитуда колебаний A — наибольшее по модулю смещение тела от положения равновесия. В крайних положениях x = A или x = −A, поэтому модуль смещения равен A. Амплитуду используют, чтобы выразить полную энергию пружинного маятника через максимальную деформацию пружины.
Когда тело смещено из положения равновесия, пружина растянута или сжата и действует на тело силой упругости. Эта сила направлена к равновесию и при движении совершает работу: пружина передаёт энергию телу или, наоборот, получает её от тела. Поэтому потенциальная энергия связана с деформацией, а её величина определяется смещением: Eп = kx²/2.
В положении равновесия смещение x равно нулю, и при выбранном нуле отсчёта потенциальная энергия пружины минимальна. В этой точке сила упругости не разгоняет тело обратно к центру, поскольку тело уже проходит равновесие. Однако тело движется с наибольшей скоростью: накопленная ранее потенциальная энергия перешла в кинетическую.
В крайнем положении тело на короткий миг останавливается, чтобы изменить направление движения. Его скорость и кинетическая энергия в этот момент равны нулю. Зато пружина максимально растянута или сжата, поэтому потенциальная энергия достигает максимума, соответствующего амплитуде.
При движении от края к равновесию пружина возвращает накопленную энергию телу, и его скорость растёт. Дальше тело по инерции движется к противоположному краю, растягивая или сжимая пружину, и постепенно отдаёт ей кинетическую энергию. Так кинетическая и потенциальная энергии непрерывно переходят друг в друга, а их соотношение зависит от текущего положения.
Если сопротивлением воздуха, трением и другими потерями можно пренебречь, энергия не уходит из системы и не превращается в другие виды энергии. Поэтому сумма Eк + Eп остаётся постоянной на протяжении колебаний. В крайней точке вся она равна kA²/2, значит, полная энергия пружинного маятника выражается формулой E = kA²/2.
| Положение тела | Смещение x | Кинетическая энергия Eк | Потенциальная энергия Eп | Полная энергия E |
|---|---|---|---|---|
| Положение равновесия | x = 0 | Максимальна | Минимальна | kA²/2 |
| Промежуточное положение | 0 < |x| < A | Ненулевая | Ненулевая | kA²/2 |
| Крайнее положение | |x| = A | Eк = 0 | Максимальна | kA²/2 |
| Во всех положениях | От −A до A | Eк + Eп | kA²/2 | |
Сначала найдите строку, соответствующую положению тела, и сравните её значения энергий. В промежуточной точке ни одна из двух энергий не исчезает, но их сумма остаётся прежней. Для расчётов используйте Eп = kx²/2 и Eк = E − Eп.
Пружинный маятник массой 0,20 кг движется со скоростью 0,50 м/с в положении равновесия. Найдите его полную механическую энергию. В равновесии смещение равно нулю, поэтому потенциальная энергия пружины равна нулю. Значит, полная энергия совпадает с кинетической.
Запишем формулу кинетической энергии: Eк = mv²/2. Здесь масса m = 0,20 кг, а скорость v = 0,50 м/с. Подставлять потенциальную энергию не требуется: в равновесии она равна нулю.
Вычислим: E = Eк = 0,20 · 0,50²/2 = 0,025 Дж. Единица энергии — джоуль. Ответ: полная механическая энергия равна 0,025 Дж.
Жёсткость пружины равна 200 Н/м, амплитуда — 0,10 м. Найдите полную энергию и максимальную скорость груза массой 0,40 кг. Энергия наибольшая по потенциальной форме в крайней точке, поэтому E = kA²/2. Максимальная скорость достигается в равновесии, где вся эта энергия кинетическая.
Найдём полную энергию: E = kA²/2 = 200 · 0,10²/2 = 1,0 Дж. Проверим единицы: Н/м · м² даёт Н·м, то есть джоуль. Полученная энергия сохраняется во время колебаний.
В равновесии E = mvмакс²/2, откуда vмакс = √(2E/m). Подставим значения: vмакс = √(2 · 1,0/0,40) = √5 ≈ 2,24 м/с. Ответ: E = 1,0 Дж, максимальная скорость около 2,24 м/с.
Маятник с жёсткостью 100 Н/м и амплитудой 0,20 м находится при смещении 0,12 м. Найдите кинетическую энергию и скорость груза массой 0,50 кг. Сначала определим запас энергии системы по амплитуде, затем вычтем энергию деформированной пружины. Остаток — кинетическая энергия тела в указанной точке.
Полная энергия E = kA²/2 = 100 · 0,20²/2 = 2,0 Дж. Потенциальная энергия при смещении x = 0,12 м равна Eп = kx²/2 = 100 · 0,12²/2 = 0,72 Дж. Значит, Eк = E − Eп = 2,0 − 0,72 = 1,28 Дж.
Используем Eк = mv²/2 и выразим скорость: v = √(2Eк/m). Подстановка даёт v = √(2 · 1,28/0,50) = √5,12 ≈ 2,26 м/с. Ответ: кинетическая энергия равна 1,28 Дж, скорость — примерно 2,26 м/с.
Ошибка — записывать потенциальную энергию пружины как Eп = kx, забывая квадрат смещения и множитель 1/2. Так иногда поступают, перенося формулу для другой величины или не проверяя размерность. Сверьте запись с формулой Eп = kx²/2 и убедитесь, что в ответе получаются джоули.
Смещение x и амплитуда A — не одно и то же: x показывает положение в конкретный момент, а A является максимальным смещением. Их путают, когда без разбора подставляют амплитуду во все формулы. Проверка простая: для энергии пружины в данный момент подставляйте текущее x, а для полной энергии используйте A в выражении kA²/2.
В положении равновесия иногда считают всю энергию нулевой, потому что там потенциальная энергия пружины минимальна. Но тело проходит эту точку с максимальной скоростью, поэтому его кинетическая энергия велика, а полная энергия не исчезает. Проверьте себя, подставив x = 0 в Eп и отдельное значение скорости в Eк.
Ещё одна ошибка — считать кинетическую и потенциальную энергии всегда равными. Их сумма постоянна, но доли зависят от положения тела; равенство возможно лишь в отдельных точках. Чтобы проверить результат, вычислите каждую энергию по своей формуле и сложите: сумма должна совпасть с kA²/2.
Для этой темы нужны формулы кинетической энергии и потенциальной энергии упруго деформированной пружины. Также важно различать положение равновесия, смещение, скорость и амплитуду при гармонических колебаниях. Эти понятия позволяют описывать не только движение, но и распределение энергии в разные моменты.
Представление о сохранении энергии пригодится при изучении колебаний с потерями: оно помогает понять, почему амплитуда постепенно уменьшается. Оно также связано с резонансом и энергетическими процессами в механических системах. В более сложных задачах анализ энергии часто дополняет описание движения через силу и ускорение.
Почему полная энергия колебаний не меняется, хотя скорость тела меняется?
При изменении скорости меняется кинетическая энергия, но одновременно меняется и потенциальная энергия пружины. Если трения и сопротивления нет, энергия только переходит из одной формы в другую, поэтому их сумма сохраняется.
В каком положении потенциальная энергия пружины равна нулю?
Для пружинного маятника потенциальную энергию обычно отсчитывают от положения равновесия. В этой точке смещение x равно нулю, поэтому Eп = kx²/2 = 0.
Почему в крайних положениях тело на мгновение останавливается?
В крайних точках смещение достигает амплитуды, а направление движения меняется на противоположное. Перед сменой направления скорость на мгновение равна нулю, поэтому кинетическая энергия тоже равна нулю.
Как найти скорость тела, если известны его смещение и амплитуда?
Для маятника без потерь приравняйте полную энергию kA²/2 сумме энергий в данном положении: mv²/2 + kx²/2. Отсюда v = √((k/m)(A² − x²)); подставьте смещение x, амплитуду A, жёсткость k и массу m.
Сохраняется ли механическая энергия при наличии трения?
При трении механическая энергия колебаний обычно уменьшается: часть переходит во внутреннюю энергию тела и окружающей среды. Поэтому без учёта этих потерь равенство Eк + Eп = const уже не выполняется.
1. Превращения энергии при свободных гармонических колебаниях
