§ 8. Энергия механических колебаний. Вынужденные колебания

Определения и обозначения

Энергия механических колебаний — сумма кинетической и потенциальной энергий колеблющегося тела. Она показывает, сколько механической энергии связано с движением и положением тела; если потерями можно пренебречь, эта сумма сохраняется.

Вынужденные колебания — колебания, которые возникают и поддерживаются под действием внешней периодической силы. Их частота в установившемся режиме равна частоте этой силы, поэтому понятие помогает предсказать ритм движения системы.

Резонанс — резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний, когда частота внешней силы совпадает или близка к собственной частоте системы. Трение ограничивает рост амплитуды: без потерь резонанс был бы значительно сильнее.

Добротность — характеристика системы, показывающая, насколько слабо затухают её свободные колебания и насколько выражен резонанс. Чем меньше потери энергии, тем выше добротность и тем заметнее резонансный максимум.

Как это устроено

При свободных гармонических колебаниях тело непрерывно меняет скорость и положение, поэтому энергия переходит из одной формы в другую. В равновесии тело движется быстрее всего, а при подходе к крайнему положению замедляется: кинетическая энергия превращается в потенциальную. Затем процесс идёт обратно, потому что возвращающая сила разгоняет тело к равновесию.

Если сопротивлением среды можно пренебречь, механическая энергия не уходит из колебательной системы и остаётся постоянной. Кинетическая и потенциальная энергии меняются, но их сумма сохраняется. При сопротивлении часть энергии превращается во внутреннюю энергию тела и среды, поэтому колебания затухают.

Вынуждающая сила периодически действует на систему и передаёт ей энергию. Сначала движение может быть сложным: собственные колебания системы накладываются на движение, создаваемое силой. Со временем собственные колебания затухают из-за потерь, и остаётся установившееся движение с частотой внешнего воздействия.

Амплитуда зависит от того, насколько часто сила меняет направление по сравнению с собственными колебаниями системы. Когда ритмы близки, сила снова и снова действует в подходящую фазу и эффективно передаёт энергию. Поэтому амплитуда особенно велика около собственной частоты, а вдали от неё передача энергии менее эффективна.

При резонансе поступающая энергия не накапливается безгранично: трение и другие потери отводят её из системы. В установившемся режиме приток энергии уравновешивает потери. Чем слабее потери, тем выше и уже резонансный максимум; этим объясняется связь добротности с выраженностью резонанса.

Кинетическая и потенциальная энергия при свободных гармонических колебаниях

Сравнивайте строки таблицы, чтобы увидеть, как меняются энергия и скорость при перемещении тела. Указание о постоянной полной энергии действует только тогда, когда потерями можно пренебречь. В равновесии преобладает кинетическая энергия, а в крайнем положении — потенциальная.

Разбор задач

Полная энергия груза на пружине

Груз на пружине колеблется без потерь; в положении равновесия его скорость равна 0,40 м/с, масса — 0,50 кг. Найдём полную механическую энергию, приняв потенциальную энергию в равновесии за ноль. В этом положении вся энергия системы кинетическая.

1. Запишем связь полной энергии с кинетической: E = mv²/2.
2. Подставим значения: E = 0,50 · 0,40²/2 = 0,040 Дж.
3. Проверим размерность: килограмм, умноженный на квадрат скорости, даёт джоуль.

Ответ: полная механическая энергия равна 0,040 Дж.

Энергия маятника

Маятник отклонили от равновесия и отпустили; нужно проследить превращения энергии при движении к равновесию и обратно. В крайнем положении маятник на мгновение останавливается, поэтому его кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная максимальна. При движении вниз потенциальная энергия переходит в кинетическую.

1. У крайнего положения скорость равна нулю, значит, кинетическая энергия равна нулю.
2. По мере движения к равновесию скорость растёт, а кинетическая энергия увеличивается за счёт уменьшения потенциальной.
3. В равновесии скорость и кинетическая энергия максимальны; затем при движении к другому крайнему положению происходит обратное превращение.

Ответ: при движении к равновесию потенциальная энергия переходит в кинетическую, а при удалении от него кинетическая переходит в потенциальную. Без потерь их сумма остаётся неизменной.

Частота воздействия и резонанс

Собственная частота системы равна 2,0 Гц, а внешняя сила действует с частотами 1,0 Гц, 1,9 Гц и 3,0 Гц. Нужно определить, при какой частоте амплитуда наибольшая и что произойдёт при усилении трения. Сравним каждую частоту воздействия с собственной частотой системы.

1. Частота 1,9 Гц ближе всего к 2,0 Гц, поэтому в этих условиях ожидается наибольшая амплитуда.
2. Это резонансный режим: близость частот позволяет внешней силе эффективно передавать системе энергию.
3. При усилении трения потери энергии возрастают, поэтому амплитуда уменьшается, а резонансный максимум становится менее выраженным.

Ответ: наибольшая амплитуда ожидается при частоте 1,9 Гц; усиление трения снижает её и ослабляет резонанс.

Типичные ошибки

Ошибочно считать, что кинетическая и потенциальная энергии одновременно максимальны. Так думают, замечая, что обе относятся к одному движению, но без потерь их сумма постоянна и максимумы приходятся на разные положения. Проверьте себя: в равновесии максимальна скорость, а в крайнем положении она равна нулю.

Нельзя утверждать, что полная механическая энергия сохраняется всегда: это верно лишь при отсутствии существенных потерь и внешней работы. Эту ошибку допускают, забывая о трении и сопротивлении среды. Для проверки выясните, может ли система терять энергию или получать её извне.

Частота вынужденных колебаний не всегда равна собственной частоте системы. Их смешивают, потому что именно близость частот важна для резонанса; однако в установившемся режиме частоту задаёт внешняя сила. Сверьте частоту движения с частотой воздействия, а не только с собственной частотой.

Резонанс не означает неограниченного роста амплитуды. Такой вывод возникает, если учитывать приток энергии, но забывать о трении и других потерях. Проверка проста: в реальной системе поступающая энергия уравновешивается потерями, поэтому амплитуда ограничена.

Связь с другими темами

Для понимания энергии колебаний нужны знания о кинетической и потенциальной энергии, законе сохранения энергии и гармонических колебаниях. Частота, амплитуда и собственная частота связывают эту тему со свободными колебаниями и понадобятся при изучении волн. Резонанс помогает понять работу колебательных систем и объясняет, почему опасные колебания сооружений, механизмов и приборов важно учитывать.

Что запомнить

• Полная механическая энергия свободных колебаний без потерь постоянна.
• В положении равновесия скорость и кинетическая энергия максимальны.
• В крайних положениях скорость равна нулю, а потенциальная энергия максимальна.
• Вынужденные колебания поддерживает внешняя периодическая сила.
• Частота установившихся вынужденных колебаний равна частоте внешней силы.
• Резонанс возникает, когда частота внешнего воздействия близка к собственной частоте системы.
• Трение уменьшает амплитуду и выраженность резонанса.