§ 9. Колебательный контур. Переменный ток

Определения и обозначения

Колебательный контур — замкнутая цепь из конденсатора и катушки индуктивности, в которой могут возникать электромагнитные колебания. Конденсатор накапливает энергию электрического поля, а катушка — магнитного. Такое устройство позволяет изучать, как энергия периодически переходит из одной формы в другую.

Свободные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда, напряжения и силы тока в контуре после начального возбуждения, без внешнего периодического воздействия. Начальным возбуждением обычно служит заряд конденсатора. Понятие «свободные» отличает эти колебания от тех, которые поддерживает внешний источник.

Переменный ток — электрический ток, сила и направление которого периодически изменяются со временем. Величину тока в выбранный момент называют мгновенной силой тока, а её наибольшее значение за период — амплитудой Iₘ. Такое описание нужно, чтобы различать текущее значение и предел изменения тока.

Действующее значение переменного тока — значение постоянного тока, который за то же время выделил бы в сопротивлении такое же количество теплоты. Его обозначают Iдейств; соответствующее напряжение обозначают Uдейств. Эта характеристика позволяет применять знакомые расчёты нагрева и мощности к переменному току.

Как это устроено

Сначала конденсатор заряжают, поэтому между его обкладками есть напряжение и запасена энергия электрического поля. Когда цепь замыкают, конденсатор начинает разряжаться через катушку, и в проводнике появляется ток. Ток не прекращается в момент, когда заряд становится нулевым: катушка препятствует резкому изменению тока. Продолжая течь, ток перезаряжает конденсатор, и затем процесс повторяется в обратном направлении.

Во время разрядки конденсатора энергия его электрического поля убывает, а энергия магнитного поля катушки растёт вместе с током. Когда конденсатор разряжен, ток и энергия магнитного поля достигают максимума. Затем ток заряжает конденсатор с противоположной полярностью, магнитное поле ослабевает, и энергия снова становится электрической. В идеальном контуре потерь нет, поэтому сумма этих энергий остаётся постоянной.

Заряд и ток меняются периодически, но их максимумы не совпадают. Ток связан со скоростью изменения заряда: когда заряд достигает максимума, на мгновение перестаёт меняться, поэтому ток равен нулю. Когда заряд проходит через ноль, он меняется быстрее всего и сила тока максимальна. Для выбранного начала отсчёта это можно записать так: q = qₘ cos(ωt), I = −Iₘ sin(ωt), где ω — циклическая частота.

Период свободных колебаний идеального контура определяется формулой Томсона: T = 2π√(LC), где L — индуктивность катушки, а C — ёмкость конденсатора. Большие L или C означают, что передача энергии между полями происходит медленнее, поэтому период увеличивается. Частота показывает число колебаний за секунду и связана с периодом равенством f = 1/T. При расчётах L и C нужно подставлять в единицах СИ.

Переменный ток можно получить, вращая рамку в магнитном поле или периодически меняя магнитный поток через неё. Из-за изменения потока возникает электродвижущая сила — причина движения зарядов в цепи. Когда направление изменения потока меняется, меняются направление ЭДС и направление тока. Так в цепи появляются периодические ток и напряжение.

Основные характеристики переменного тока

Для синусоидального тока таблица связывает мгновенное значение с амплитудой, а действующее — с тепловым действием. Если известно действующее значение, амплитуду находят умножением на √2. Период и частота взаимно обратны, поэтому нужно проверять, какая из этих величин требуется в задаче.

Разбор задач

Период и частота колебаний

В контуре L = 0,20 Гн и C = 5,0 мкФ. Требуется найти период и частоту собственных колебаний. Сначала переводим ёмкость в фарады: 5,0 мкФ = 5,0 · 10⁻⁶ Ф. Поскольку в условии дана пара L и C, применяем формулу Томсона.

1. Подставим значения в T = 2π√(LC): T = 2π√(0,20 · 5,0 · 10⁻⁶) с.
2. Подкоренное выражение равно 1,0 · 10⁻⁶, поэтому T ≈ 2π · 10⁻³ с ≈ 6,3 · 10⁻³ с.
3. Найдём частоту по формуле f = 1/T: f ≈ 1/(6,3 · 10⁻³) Гц ≈ 160 Гц.

Ответ: T ≈ 6,3 мс, f ≈ 160 Гц. Приближённо период имеет смысл: он должен быть положительным, а частота получается обратной ему величиной.

Максимальная сила тока

Максимальный заряд конденсатора qₘ = 4,0 мкКл, период T = 2,0 мс. Нужно найти амплитуду силы тока Iₘ. Ток связан с тем, как быстро меняется заряд, поэтому используем Iₘ = ωqₘ. Сначала определим циклическую частоту через заданный период.

1. Переведём величины в СИ: qₘ = 4,0 · 10⁻⁶ Кл, T = 2,0 · 10⁻³ с.
2. Вычислим ω = 2π/T ≈ 3,14 · 10³ рад/с.
3. Подставим значения: Iₘ = ωqₘ ≈ 3,14 · 10³ · 4,0 · 10⁻⁶ А ≈ 1,3 · 10⁻² А.

Ответ: Iₘ ≈ 0,013 А, или 13 мА. Амплитуда тока не равна максимальному заряду: между ними нужна циклическая частота, поскольку ток зависит от скорости изменения заряда.

Тепловое действие переменного тока

К источнику переменного напряжения с Uдейств = 220 В подключено сопротивление R = 110 Ом. Нужно найти действующую и максимальную силы тока, а также теплоту за t = 2,0 мин. Закон Ома применим к действующим значениям, а для теплоты используем мощность на сопротивлении. Время перед расчётом переводим в секунды.

1. По закону Ома Iдейств = Uдейств/R = 220/110 = 2,0 А.
2. Для синусоидального тока Iₘ = √2 Iдейств ≈ 2,8 А.
3. Переведём время: t = 120 с. Средняя мощность на сопротивлении P = Iдейств²R = 2,0² · 110 = 440 Вт.
4. Количество теплоты Q = Pt = 440 · 120 = 52 800 Дж ≈ 53 кДж.

Ответ: Iдейств = 2,0 А, Iₘ ≈ 2,8 А, Q ≈ 53 кДж. Для вычисления теплоты использовали действующее значение, потому что оно описывает тепловое действие переменного тока за время.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что максимумы заряда и силы тока наступают одновременно. Это происходит из-за привычки связывать величины, меняющиеся в одной цепи, как синхронные. Проверьте себя по связи тока с изменением заряда: при максимальном заряде его изменение на мгновение равно нулю, а ток максимален при прохождении заряда через ноль.

Ошибка: путать период и частоту или записывать f = T. Частота показывает число колебаний за секунду, а период — время одного колебания, поэтому величины обратны. Проверка проста: используйте f = 1/T и следите за единицами — герц равен с⁻¹.

Ошибка: подставлять ёмкость в микрофарадах в формулу Томсона как число без перевода. Так в произведении LC появляется неверная степень десяти, а результат для периода может отличаться на порядки. Перед расчётом переведите микрофарады в фарады: 1 мкФ = 10⁻⁶ Ф, затем проверьте единицы остальных величин.

Ошибка: приравнивать действующее значение синусоидального тока к амплитуде. Амплитуда — максимум мгновенного значения, а действующее значение определяют по тепловому действию за целый период. Используйте Iдейств = Iₘ/√2 и проверьте, что действующее значение меньше амплитуды, а не равно ей.

Связь с другими темами

Для описания колебательного контура нужны знакомые понятия ёмкости конденсатора, индуктивности катушки, сохранения энергии и периодического движения. Электромагнитная индукция объясняет возникновение ЭДС при изменении магнитного потока; этот принцип используется в генераторах переменного тока. Знание действующих значений помогает рассчитывать силу тока, мощность и нагрев в бытовых электрических цепях. При изучении трансформаторов также понадобится понимание переменного напряжения и тока.

Что запомнить

• В колебательном контуре энергия попеременно запасается в электрическом поле конденсатора и магнитном поле катушки.
• В идеальном контуре период колебаний равен T = 2π√(LC).
• Частота связана с периодом формулой f = 1/T.
• Ток и заряд в контуре колеблются со сдвигом по фазе.
• Переменный ток периодически меняет величину и направление.
• Для синусоидального тока действующее значение равно амплитуде, делённой на √2.