1. Свободные электромагнитные колебания

Определения и обозначения

Колебательный контур — замкнутая электрическая цепь, содержащая конденсатор и катушку индуктивности; в идеальном контуре сопротивлением пренебрегают. Конденсатор накапливает электрический заряд, а катушка создаёт магнитное поле при прохождении тока. Такая модель позволяет проследить, как энергия переходит из одного поля в другое.

Свободные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда, силы тока и напряжения в контуре после того, как его вывели из равновесия и предоставили самому себе. Например, конденсатор сначала заряжают, а затем подключают к катушке. Это определение подчёркивает, что дальнейшие изменения происходят без внешнего периодического воздействия.

Период электромагнитных колебаний — время одного полного изменения состояния контура; его обозначают буквой T. За период заряд конденсатора и сила тока проходят все значения, а затем повторяют изменение. Период нужен, чтобы описывать длительность одного цикла и находить частоту.

Собственная частота колебаний — частота свободных колебаний контура, определяемая его параметрами; её обозначают ν, а угловую частоту — ω. Частота показывает число полных колебаний за секунду, угловая частота связана с изменением фазы. Эти величины позволяют записывать зависимости заряда и тока от времени.

Как это устроено

Сначала конденсатор заряжают, а затем замыкают цепь с катушкой. Напряжение между обкладками вызывает движение зарядов, то есть электрический ток. Ток создаёт вокруг катушки магнитное поле, поэтому часть энергии конденсатора начинает запасаться в этом поле. Чем больше ток, тем больше магнитная энергия катушки.

Когда конденсатор полностью разрядился, ток не обрывается мгновенно. Магнитное поле катушки к этому моменту максимально, и его энергия поддерживает движение зарядов. При изменении тока возникает ЭДС самоиндукции, препятствующая резкому изменению тока. Поэтому ток продолжает течь и заряжает конденсатор, но уже с противоположной полярностью.

Затем конденсатор начинает разряжаться в обратном направлении, а ток постепенно ослабевает. Магнитное поле катушки уменьшается и отдаёт энергию электрическому полю конденсатора. После этого процесс повторяется в обратную сторону. В идеальном контуре энергия электрического и магнитного полей меняется, но их сумма остаётся постоянной.

Заряд и ток меняются по гармоническому закону, потому что в контуре действуют взаимосвязанные электрическое и магнитное поля, а возвращающая система сила зависит от отклонения заряда. Если в начале конденсатор заряжен максимально, то q = Qₘ cos(ωt), а I = Iₘ sin(ωt), где Qₘ и Iₘ — амплитуды. При максимальном заряде ток равен нулю, а при нулевом заряде ток достигает максимума. Поэтому графики q/Qₘ и I/Iₘ сдвинуты на четверть периода, или на фазу π/2.

Скорость колебаний задают индуктивность L и ёмкость C: чем больше любой из этих параметров, тем медленнее меняется состояние контура. Период свободных колебаний выражает формула Томсона T = 2π√(LC). Частота связана с периодом соотношением ν = 1/T, а угловая частота — соотношением ω = 2π/T. Следовательно, параметры контура определяют и длительность цикла, и частоту повторения колебаний.

Величины и зависимости в идеальном колебательном контуре

Сначала определите, какую величину требуется найти, и выберите соответствующую строку. Для периода понадобятся индуктивность и ёмкость, а для энергии — текущие значения заряда или тока. Перед вычислениями переводите величины в единицы СИ.

Разбор задач

Период по индуктивности и ёмкости

Конденсатор ёмкостью 4 мкФ соединён с катушкой индуктивностью 0,25 Гн. Найдём период свободных колебаний. В формулу Томсона ёмкость нужно подставлять в фарадах, поэтому сначала преобразуем её: 4 мкФ = 4 · 10⁻⁶ Ф. Индуктивность уже дана в генри.

1. Запишем формулу периода: T = 2π√(LC).
2. Подставим значения: T = 2π√(0,25 · 4 · 10⁻⁶) = 2π√(10⁻⁶).
3. Вычислим: T ≈ 2π · 10⁻³ с ≈ 0,0063 с.

Ответ: T ≈ 6,3 мс. Проверка порядка величины показывает, что при микрофарадной ёмкости и индуктивности меньше одного генри период составляет несколько миллисекунд.

Максимальная сила тока

Период контура равен 2 мс, максимальный заряд конденсатора — 6 мкКл. Требуется найти максимальную силу тока. Амплитуды заряда и тока связаны соотношением Iₘ = ωQₘ, поэтому сначала найдём угловую частоту по периоду. Переведём величины: T = 0,002 с, Qₘ = 6 · 10⁻⁶ Кл.

1. Вычислим угловую частоту: ω = 2π/T = 2π/0,002 ≈ 3142 рад/с.
2. Подставим её и максимальный заряд: Iₘ = ωQₘ ≈ 3142 · 6 · 10⁻⁶ А.
3. Получим Iₘ ≈ 0,0189 А, или около 19 мА.

Ответ: Iₘ ≈ 19 мА. Здесь важна именно максимальная сила тока: она связана с максимальным зарядом формулой для амплитуд, а не с зарядом в произвольный момент времени.

Заряд и ток через T/8 после начала колебаний

Дано: L = 0,20 Гн, C = 5,0 мкФ, Qₘ = 8,0 мкКл. В начальный момент конденсатор полностью заряжен, а найти нужно q и I при t = T/8. Поскольку в этот момент фаза равна ωt = (2π/T) · (T/8) = π/4, можно использовать заданный закон q = Qₘ cos(ωt). Для тока при такой начальной фазе подходит I = Iₘ sin(ωt), где Iₘ = ωQₘ.

1. Переведём ёмкость: C = 5,0 · 10⁻⁶ Ф. Найдём период: T = 2π√(0,20 · 5,0 · 10⁻⁶) = 2π · 10⁻³ ≈ 0,00628 с.
2. Угловая частота ω = 2π/T = 1000 рад/с. Фаза в момент t = T/8 равна π/4.
3. Найдём заряд: q = 8,0 cos(π/4) мкКл ≈ 5,66 мкКл.
4. Найдём ток: I = ωQₘ sin(π/4) ≈ 1000 · 8,0 · 10⁻⁶ · 0,707 ≈ 0,00566 А.

Ответ: q ≈ 5,7 мкКл, I ≈ 5,7 мА. Заряд ещё положителен, а ток уже течёт, потому что после максимума заряда конденсатор начал разряжаться.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что ток прекращается сразу после разрядки конденсатора. Так рассуждают, представляя ток только как результат напряжения на конденсаторе, и забывают об энергии магнитного поля катушки. Проверьте себя: в момент нулевого заряда ток в идеальном контуре максимален, а не равен нулю.

Ошибка: считать переход энергии из электрической формы в магнитную её потерей. Это происходит, если не различать изменение отдельных видов энергии и изменение их суммы. Проверка проста: для идеального контура сложите Wэл = q²/(2C) и Wмаг = LI²/2 — полная энергия должна сохраняться.

Ошибка: подставлять в формулу Томсона ёмкость в микрофарадах или индуктивность в миллигенри без перевода в СИ. Маленький множитель при переводе в фарады или генри влияет на результат под корнем и может сильно изменить период. Перед вычислением убедитесь, что C выражена в фарадах, L — в генри, а ответ получен в секундах.

Ошибка: считать заряд и силу тока синфазными, то есть достигающими максимума одновременно. Это заблуждение возникает, если сопоставлять значения величин, не учитывая, что ток определяется изменением заряда со временем. Проверка: при максимальном заряде скорость его изменения и ток равны нулю, а при нулевом заряде ток максимален.

Связь с другими темами

Для изучения контура нужно знать устройство конденсатора и катушки, а также понимать, что такое заряд, сила тока, напряжение и энергия электрического и магнитного полей. Свободные электромагнитные колебания похожи на механические гармонические колебания: в обеих системах энергия периодически переходит между двумя видами. Зависимость периода от параметров системы тоже связывает эти темы. Понимание свободных колебаний пригодится при изучении вынужденных колебаний, переменного тока и резонанса.

Что запомнить

• Свободные колебания возникают после начального возбуждения контура без внешнего периодического воздействия.
• В идеальном контуре энергия периодически переходит между электрическим полем конденсатора и магнитным полем катушки.
• Заряд конденсатора и сила тока меняются гармонически и сдвинуты по фазе на четверть периода.
• Период свободных колебаний определяется формулой Томсона: T = 2π√(LC).
• Частота ν = 1/T, а угловая частота ω = 2π/T.
• В реальном контуре сопротивление приводит к потерям энергии и затуханию колебаний.