1. Направление скорости тела при движении по окружности

Определения и обозначения

Мгновенная скорость — векторная величина, показывающая быстроту и направление движения тела в данный момент. Вектор — это величина, у которой есть модуль и направление. Поэтому одной цифры, например 5 м/с, недостаточно, чтобы полностью описать скорость тела на окружности: нужно также указать, куда она направлена.

Касательная к окружности — прямая, которая касается окружности в одной точке и перпендикулярна радиусу, проведённому к этой точке. Радиус соединяет центр окружности с её точкой, а касательная показывает направление, в котором траектория проходит непосредственно возле места касания. Это понятие позволяет находить направление скорости, не принимая за него направление к центру или от центра.

Направление скорости при движении по окружности — направление касательной к траектории в точке, где находится тело. Однако касательная задаёт прямую, а движение по ней возможно в две стороны. Чтобы определить именно вектор скорости, надо выбрать на этой прямой направление, в котором тело движется в данный момент.

Как это устроено

За малый промежуток времени тело перемещается из одной точки траектории в другую. Если промежуток уменьшать, участок окружности между этими точками становится всё короче и всё больше похож на прямую. Направление такого очень малого перемещения и определяет направление мгновенной скорости. В пределе оно совпадает с касательной к траектории в точке, где находится тело.

Чтобы найти направление движения, сначала нужно провести касательную в нужной точке окружности. Но сама прямая ещё не показывает, в какую сторону движется тело: по ней можно двигаться в обе стороны. Представьте, что тело проходит по окружности и отмечайте, куда оно смещается в ближайший момент. Стрелку скорости следует направить по касательной в ту же сторону.

Радиус, проведённый к телу, и касательная в этой точке перпендикулярны по геометрическому свойству окружности. Поскольку скорость направлена вдоль касательной, она тоже составляет прямой угол с радиусом. Это не означает, что тело удаляется от центра или приближается к нему: в данный момент оно движется поперёк направления радиуса. При этом перпендикулярность относится к скорости именно в рассматриваемой точке.

По мере движения точка на окружности меняет положение, а вместе с ней поворачивается и касательная. Поэтому поворачивается и вектор скорости. Если тело движется равномерно, длина этого вектора — модуль скорости — остаётся одинаковой, но его направление всё время меняется. Векторная скорость, следовательно, изменяется, даже когда показания спидометра постоянны.

На рисунке траектории отметьте положение тела и стрелку, показывающую направление движения. В выбранной точке проведите мысленно радиус от центра к телу, а затем перпендикулярную ему касательную. Остаётся выбрать на касательной ту сторону, которая согласуется со стрелкой движения. Например, при движении против часовой стрелки в верхней точке тело уходит влево, а в правой точке — вверх.

Направление скорости в разных точках окружности

Сначала найдите в таблице точку, в которой находится тело, затем используйте указанные направления радиуса и скорости. Направление скорости всегда перпендикулярно радиусу, а конкретную сторону касательной задаёт направление движения. Если тело движется по часовой стрелке, направления скорости будут противоположными приведённым.

Разбор задач

Скорость в правой точке при движении против часовой стрелки

Тело движется по окружности против часовой стрелки. Нужно указать направление его скорости в правой точке траектории. Ищем не направление к центру, а направление движения тела в самой рассматриваемой точке. Для проверки можно воспользоваться тем, что касательная перпендикулярна радиусу.

1. Из центра окружности проведём радиус к правой точке: он направлен вправо.
2. Проведём через эту точку касательную: она перпендикулярна радиусу и поэтому вертикальна.
3. Учтём движение против часовой стрелки: в правой точке тело перемещается вверх, значит, выбираем верхнее направление касательной.

Ответ: вектор скорости направлен вверх. Он перпендикулярен радиусу и направлен по ходу движения тела.

Скорость в верхней и нижней точках при движении по часовой стрелке

Тело движется по окружности по часовой стрелке, а требуется изобразить скорость в верхней и нижней точках. В каждой точке скорость должна лежать на касательной, то есть быть перпендикулярной радиусу. Затем нужно отдельно учесть направление движения: при смене направления обхода стрелки скорости также меняют направление.

1. В верхней точке радиус направлен вверх, поэтому касательная горизонтальна.
2. При движении по часовой стрелке тело в верхней точке идёт вправо; стрелку скорости направляем вправо.
3. В нижней точке радиус направлен вниз, а касательная снова горизонтальна. В этой точке тело движется влево, поэтому скорость направлена влево.

Ответ: в верхней точке скорость направлена вправо, в нижней — влево. Оба вектора перпендикулярны соответствующим радиусам и ориентированы по ходу движения.

Из верхней точки в правую за четверть окружности

Тело проходит четверть окружности из верхней точки в правую. Сравним направление скорости в начале и конце участка. Чтобы это сделать, определим касательную в каждой точке и проследим, куда движется тело; модуль скорости для сравнения направлений не нужен. Направление обхода здесь задано самим перемещением от верхней точки к правой.

1. В верхней точке касательная горизонтальна; движение к правой точке означает, что скорость направлена вправо.
2. В правой точке касательная вертикальна, и тело продолжает двигаться вниз. Значит, скорость в конце участка направлена вниз.
3. Сопоставим направления: в начале вектор направлен вправо, а в конце — вниз. Эти направления различаются, следовательно, изменился вектор скорости.

Ответ: вектор скорости изменился, хотя его модуль мог остаться постоянным. При движении по окружности достаточно изменения направления, чтобы векторная скорость изменилась.

Типичные ошибки

Направлять скорость к центру или от него. Так путают радиус с касательной, потому что обе линии связаны с выбранной точкой окружности. Но радиус проходит через центр, а скорость направлена перпендикулярно ему. Проверьте себя: если стрелка скорости не образует с радиусом прямой угол, направление выбрано неверно.

Считать, что скорость направлена вдоль хорды между соседними точками. Хорда соединяет две точки траектории и показывает перемещение за конечный промежуток времени, а не направление в один момент. Ошибка возникает, когда мысленно рассматривают заметный участок пути, не уменьшая его до очень короткого. Для проверки уменьшите промежуток времени: направление перемещения приблизится к касательной в исходной точке.

Провести касательную, но не учесть направление движения. Касательная — прямая, и по ней можно указать два противоположных направления. Иногда ученик останавливается на построении прямой и забывает проверить движение тела. Сверьтесь со стрелкой движения или с последовательностью точек и выберите направление вдоль касательной по ходу тела.

Считать вектор скорости неизменным при постоянном модуле. Модуль описывает только величину скорости, тогда как вектор включает ещё и направление. На окружности направление скорости меняется, хотя тело может двигаться с постоянным модулем скорости. Проверьте оба свойства отдельно: сравните длины стрелок и их ориентацию в разных точках.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужно знать, что скорость — векторная величина, и уметь изображать векторы стрелками. Понятия траектории и касательной помогают описывать не только круговое, но и другое криволинейное движение. Направление скорости пригодится при изучении центростремительного ускорения: при движении по окружности оно связано с изменением направления скорости и направлено к центру. Зная, куда направлены скорость и ускорение, легче анализировать силы, действующие на тело.

Что запомнить

• Мгновенная скорость направлена по касательной к траектории.
• При движении по окружности скорость перпендикулярна радиусу, проведённому к телу.
• Направление вектора скорости выбирают по ходу движения.
• При движении по окружности направление скорости непрерывно меняется.
• Постоянство модуля скорости не означает постоянства вектора скорости.