"Физика (базовый уровень)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.
При равномерном движении по окружности модуль скорости тела остаётся постоянным, но её направление всё время меняется. Поэтому тело ускоряется: его ускорение направлено к центру окружности, а скорость — по касательной. Модуль центростремительного ускорения вычисляют по формуле a = v²/R, где v — скорость, а R — радиус. Если известен период обращения, скорость можно найти как v = 2πR/T, а затем определить ускорение.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равномерное движение по окружности — движение по окружности, при котором модуль скорости постоянен, а её направление непрерывно меняется. Например, точка на ободе вращающегося колеса может двигаться так, если колесо вращается равномерно. Это понятие помогает отличать постоянство быстроты от постоянства всей скорости: скорость как вектор здесь не остаётся неизменной.
Период обращения обозначают T и определяют как время одного полного оборота. Его измеряют в секундах, потому что это промежуток времени. Период нужен, чтобы связать вращение с движением во времени: зная T, можно определить, сколько длится оборот и как часто повторяется движение.
Частота обращения ν — число полных оборотов за единицу времени; единица СИ — герц (Гц), то есть один оборот в секунду. Частота и период связаны равенством ν = 1/T: чем больше оборотов тело совершает за секунду, тем меньше времени занимает один оборот. Эта связь позволяет переходить от описания движения через время одного оборота к числу оборотов за секунду.
Центростремительное ускорение — ускорение тела при движении по окружности, направленное к её центру. Оно изменяет направление скорости, даже если её модуль остаётся постоянным. Название указывает на направление ускорения, а не на то, что тело обязательно приближается к центру: радиус траектории при равномерном движении сохраняется.
Ускорение возникает, когда меняется скорость — вектор, характеризующий и быстроту, и направление движения. На прямом участке при постоянном модуле скорость может не меняться, но на окружности направление движения в каждой точке новое. Поэтому даже при неизменной быстроте между двумя моментами скорость становится другим вектором, и тело ускоряется.
Рассмотрим два близких момента времени: в начале и конце небольшого участка пути скорости направлены по касательным в разных точках окружности. Если отложить эти векторы от общего начала, изменение скорости Δv соединит их концы. Для очень короткого промежутка угол между направлениями невелик, и Δv направлено примерно к центру окружности. При уменьшении промежутка направление ускорения, то есть изменения скорости за единицу времени, становится точно радиальным — к центру.
Модуль ускорения можно найти геометрически, сравнивая изменение скорости Δv с перемещением тела по дуге. За малое время тело проходит небольшую часть окружности, а направление скорости поворачивается на такой же малый угол. Отношение изменения скорости к скорости даёт то же отношение длины дуги к радиусу; с учётом определения ускорения получаем a = v²/R. Значит, при одной и той же скорости более круто изогнутая траектория, то есть окружность меньшего радиуса, требует большего ускорения.
За один полный оборот тело проходит длину окружности 2πR, а затрачивает на это время T. Средняя скорость за оборот равна пройденному пути, делённому на время: v = 2πR/T; при равномерном движении это также модуль мгновенной скорости. Подставим выражение в формулу ускорения: a = (2πR/T)²/R. После сокращения одного множителя R получаем a = 4π²R/T², то есть ускорение можно вычислить и через радиус и период.
В каждый момент скорость направлена по касательной к траектории, а ускорение — по радиусу к центру, поэтому эти направления взаимно перпендикулярны. Если изменить скорость, изменится и модуль ускорения: он зависит от квадрата скорости. Если при той же скорости увеличить радиус, ускорение уменьшится; если изменить радиус и скорость одновременно, результат нужно определять по формуле a = v²/R, учитывая оба изменения.
| Величина | Обозначение | Определение или связь | Единица СИ |
|---|---|---|---|
| Радиус окружности | R | Расстояние от центра до траектории | м |
| Период обращения | T | Время одного полного оборота | с |
| Частота обращения | ν | ν = 1/T | Гц (с⁻¹) |
| Скорость | v | v = 2πR/T = 2πRν | м/с |
| Центростремительное ускорение | a | a = v²/R = 4π²R/T² | м/с² |
Сначала выпишите известные величины и выберите строку, связывающую их с тем, что требуется найти. Если скорость не дана, её можно вычислить через период или частоту, а затем найти ускорение. Следите за единицами: радиус выражайте в метрах, период — в секундах.
Здесь известны скорость и радиус, поэтому сразу применяем зависимость a = v²/R. Возводим скорость в квадрат, а затем делим на радиус. Проверим, что единица результата — м/с², как и должна быть у ускорения.
Ответ: модуль ускорения равен 8 м/с².
В условии дан период, поэтому сначала найдём путь за один оборот — длину окружности 2πR. Разделив этот путь на период, получим скорость точки на ободе. Затем применим формулу ускорения; оставим ответ с π или используем приближение π ≈ 3,14.
Ответ: скорость точки равна π/2 м/с, или примерно 1,57 м/с; ускорение — π²/2 м/с², или примерно 4,93 м/с².
Частота показывает число оборотов за секунду, поэтому обратная ей величина даст время одного оборота. Чтобы найти скорость, используем путь 2πR за один оборот, умноженный на число оборотов в секунду: v = 2πRν. После этого ускорение можно определить по скорости и радиусу.
Ответ: T = 1/3 с, v ≈ 15,1 м/с, a ≈ 284 м/с².
Считать ускорение равным нулю из-за постоянного модуля скорости. Так рассуждают, если воспринимают скорость только как число и не учитывают её направление. При движении по окружности направление меняется, поэтому меняется вектор скорости. Проверьте себя: сравните направления скорости в двух разных точках траектории.
Направлять скорость к центру окружности. Ошибка возникает из-за смешения скорости и ускорения, которые связаны с изменением движения, но имеют разные направления. Скорость направлена по касательной, а к центру направлено центростремительное ускорение. Нарисуйте окружность и касательную в выбранной точке: скорость должна лежать на касательной.
Направлять ускорение по касательной. Такое направление могут приписывать ускорению, если считают, что оно всегда показывает путь движения тела. Но при равномерном движении по окружности оно перпендикулярно скорости и направлено к центру. Проверка: радиус к телу и касательная в этой точке должны быть перпендикулярны.
Использовать формулу a = v²R вместо a = v²/R. Ошибка появляется, когда неверно запоминают, где в формуле стоит радиус. Проверьте размерность: v²/R имеет единицу м/с², а v²R — м³/с², которая не подходит для ускорения. Кроме того, при неизменной скорости увеличение радиуса должно уменьшать ускорение, а не увеличивать его.
Для понимания движения по окружности нужны понятия скорости и ускорения как характеристик векторного движения, а также правила сложения векторов: направление здесь не менее важно, чем модуль. Связь пути, скорости и времени позволяет найти скорость через длину окружности и период. Эти знания пригодятся при изучении движения планет и спутников, а также других тел, движущихся по криволинейным траекториям.
Почему тело ускоряется, если его скорость по модулю не меняется?
Скорость — это векторная величина, у неё есть и модуль, и направление. На окружности направление скорости постоянно меняется, значит, меняется сама скорость и возникает ускорение.
Куда направлены скорость и ускорение при движении по окружности?
Мгновенная скорость направлена по касательной к окружности в сторону движения. Центростремительное ускорение направлено от тела к центру окружности, поэтому оно перпендикулярно скорости.
Как зависит центростремительное ускорение от скорости тела?
При неизменном радиусе ускорение пропорционально квадрату скорости: a = v²/R. Например, если скорость увеличить в два раза, ускорение вырастет в четыре раза.
Как найти ускорение, если известны радиус и период обращения?
Сначала найдите скорость: за период тело проходит длину окружности, поэтому v = 2πR/T. Затем подставьте её в a = v²/R; получится a = 4π²R/T².
Что изменится в ускорении, если увеличить радиус окружности при той же скорости?
Ускорение уменьшится, потому что радиус находится в знаменателе формулы a = v²/R. Если радиус увеличить в два раза, ускорение при той же скорости станет вдвое меньше.
2. Ускорение тела при равномерном движении по окружности
