"Физика (базовый уровень)", Касьянов В.А.
Молекулы газа движутся хаотически и сталкиваются, поэтому в один и тот же момент их скорости различны. Распределение по скоростям показывает, сколько молекул имеют скорости из заданного диапазона, а график помогает увидеть, какие скорости встречаются чаще. Для описания используют наиболее вероятную, среднюю арифметическую и среднюю квадратичную скорости. При повышении температуры характерные скорости растут, а кривая распределения становится шире.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Распределение молекул по скоростям — описание того, сколько молекул газа имеют скорости в разных диапазонах. Скорости частиц отличаются из-за хаотического движения и столкновений. Это описание нужно, чтобы характеризовать не отдельную молекулу, а поведение большого числа частиц.
Функция распределения молекул по скоростям показывает, как число молекул зависит от значения скорости. Если число частиц в диапазоне от v до v + Δv обозначить ΔN, то при узком диапазоне оно пропорционально значению функции и ширине диапазона. Функция позволяет читать график и находить доли или количества молекул с нужными скоростями.
Наиболее вероятная скорость — скорость, около которой находится наибольшее число молекул. На графике распределения ей соответствует положение максимума. Она удобна как характеристика самых часто встречающихся скоростей, но не описывает каждую частицу.
Средняя квадратичная скорость — квадратный корень из среднего значения квадратов скоростей молекул: vкв = √⟨v²⟩. Она связана со средней кинетической энергией поступательного движения и температурой газа. В формулах для идеального газа используют абсолютную температуру T и молярную массу M.
Молекулы одного газа не движутся с одинаковой скоростью, потому что их тепловое движение хаотично. При столкновениях одна молекула может передать другой часть энергии, так что скорости и направления движения меняются. В газе с очень большим числом частиц при этом устанавливается устойчивое распределение скоростей: отдельные скорости меняются, но общая картина сохраняется.
На графике по горизонтальной оси откладывают скорость, а по вертикальной — значение функции распределения. Высокая точка кривой означает, что вблизи соответствующей скорости на единицу диапазона приходится много молекул. Число частиц в конкретном диапазоне связано с площадью участка под кривой над этим диапазоном, поэтому площадь под всей кривой соответствует общему числу молекул.
При равновесии больше всего молекул имеют скорости вблизи наиболее вероятной: таких состояний движения возникает больше, чем состояний с крайне малыми или очень большими скоростями. Поэтому кривая имеет максимум и убывает по обе стороны от него. Очень медленные и очень быстрые молекулы существуют, но встречаются реже, чем частицы со скоростями около максимума.
Нагревание увеличивает среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул. Из-за этого характерные скорости возрастают: максимум распределения смещается вправо, к большим скоростям. Частицы оказываются распределены по более широкому диапазону, поэтому при сохранении общего числа молекул кривая становится шире и ниже.
Наиболее вероятная скорость указывает на максимум распределения, средняя арифметическая — на обычное среднее значение скоростей, а средняя квадратичная получается из среднего квадрата. Это разные характеристики, и в распределении они не совпадают: vₚ < v̄ < vкв. Средняя квадратичная особенно важна, потому что средняя кинетическая энергия поступательного движения равна Eср = ½m vкв² = 3kT/2, где m — масса молекулы, k — постоянная Больцмана.
| Характеристика | Физический смысл | Формула для газа с молярной массой M | Зависимость от температуры |
|---|---|---|---|
| Наиболее вероятная скорость | Скорость, соответствующая максимуму распределения | vₚ = √(2RT/M) | Пропорциональна √T |
| Средняя арифметическая скорость | Сумма скоростей, делённая на число молекул | v̄ = √(8RT/(πM)) | Пропорциональна √T |
| Средняя квадратичная скорость | Квадратный корень из среднего квадрата скоростей | vкв = √(3RT/M) | Пропорциональна √T |
| Сравнение значений характерных скоростей | Разные меры одного распределения | vₚ < v̄ < vкв | Все растут как √T |
Здесь R — универсальная газовая постоянная, T — температура в кельвинах, M — молярная масса в кг/моль. Для сравнения скоростей газов достаточно сравнить отношения T/M: большее отношение означает большие характерные скорости. Формула под корнем даёт скорость в м/с, если величины подставлены в единицах СИ.
Задача 1. Найти наиболее вероятную скорость молекул азота при температуре 300 К. Молярная масса азота M = 0,028 кг/моль. Нужно выбрать формулу для максимума распределения и подставить данные в согласованных единицах.
Ответ: наиболее вероятная скорость молекул азота приблизительно равна 422 м/с.
Задача 2. Найти среднюю квадратичную скорость кислорода при 300 К, если M = 0,032 кг/моль. Эта скорость связана со средней кинетической энергией, но для расчёта газа удобнее использовать выражение через R, T и M.
Ответ: средняя квадратичная скорость молекул кислорода приблизительно равна 483 м/с.
Задача 3. Сравнить наиболее вероятные скорости водорода при 300 К и кислорода при 600 К. Молярные массы газов равны соответственно 0,002 и 0,032 кг/моль. Нужно определить, для какого газа отношение T/M, а значит и скорость, больше.
Ответ: наиболее вероятная скорость водорода примерно в 2,8 раза больше, чем кислорода при заданных температурах.
Ошибка: считать, что все молекулы имеют одну скорость. Такое представление возникает, если принять среднюю скорость за скорость каждой частицы. В действительности молекулы постоянно сталкиваются, а распределение включает широкий набор скоростей. Проверка: вспомните, что на графике есть не одна точка, а кривая с максимумом и участками по обе стороны.
Ошибка: путать наиболее вероятную, среднюю арифметическую и среднюю квадратичную скорости. Их названия похожи, но определения и формулы различаются, поэтому значения не совпадают. Особенно часто среднюю квадратичную ошибочно принимают за наиболее часто встречающуюся. Проверка: максимум графика относится к наиболее вероятной скорости, а корень из среднего квадрата — к средней квадратичной.
Ошибка: принимать высоту кривой за общее число молекул. Это происходит из-за того, что на графике высота визуально заметна лучше площади. Высота показывает число частиц вблизи скорости на единицу диапазона, а общее число соответствует площади под кривой. Проверка: для подсчёта молекул в интервале рассматривайте участок площади над этим интервалом.
Ошибка: использовать градусы Цельсия или неподходящие единицы молярной массы. Формулы содержат абсолютную температуру и требуют согласованных единиц, иначе численный результат будет неверным. Перед расчётом переведите температуру по формуле T = t + 273, а M запишите в кг/моль. Проверка: под корнем должно получиться значение в м²/с².
Для изучения распределения нужна связь температуры идеального газа со средней кинетической энергией хаотического движения молекул. Она объясняет, почему при нагревании растут характерные скорости. Основа темы — молекулярно-кинетическая теория, модель идеального газа и статистическое описание большого числа частиц.
Распределение скоростей помогает понять явления переноса в газах: перенос вещества, энергии и импульса зависит от движения молекул. Оно также показывает, зачем в физике используют статистические закономерности: отдельные частицы ведут себя по-разному, но для большого числа молекул возникает предсказуемая общая картина.
Почему молекулы одного и того же газа движутся с разными скоростями?
Молекулы постоянно сталкиваются друг с другом и меняются энергией. Поэтому их скорости непрерывно меняются и в равновесном газе не становятся одинаковыми.
Что показывает высота кривой распределения?
Она показывает, насколько много молекул приходится на небольшую область скоростей возле выбранного значения. Сравнивать высоты можно при одинаковом масштабе графика.
Почему площадь под графиком связана с общим числом молекул?
Каждый небольшой участок площади соответствует числу молекул в определённом диапазоне скоростей. Если сложить такие участки по всем скоростям, получится общее число молекул.
Чем наиболее вероятная скорость отличается от средней квадратичной?
Наиболее вероятная скорость соответствует максимуму кривой: около неё находится больше всего молекул. Средняя квадратичная скорость — это квадратный корень из среднего квадрата скоростей, поэтому она учитывает весь набор скоростей и связана со средней кинетической энергией.
Как меняется распределение скоростей при повышении температуры?
Кривая становится шире и ниже, а её максимум сдвигается к большим скоростям. Это происходит потому, что при нагревании характерные скорости молекул возрастают.
§ 40. Распределение молекул газа по скоростям
