"Физика (базовый и углублённый уровни)", Грачёв А.В., Погожев В.А., Салецкий А.М., Боков П.Ю.
Молекулы газа движутся с разными скоростями, поэтому состояние газа описывают не одной скоростью, а распределением молекул по скоростям. Распределение Максвелла показывает, какая доля молекул имеет скорости в выбранном диапазоне. По нему можно определить наиболее вероятную скорость и сравнить характерные скорости частиц. Форма распределения зависит от температуры газа и массы его молекул.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Распределение молекул газа по скоростям — описание того, как число молекул зависит от значения их скорости. Оно нужно потому, что в газе частицы не движутся одинаково, и одной скоростью нельзя описать их всех. Распределение позволяет перейти от движения отдельных молекул к общей картине.
Функция распределения — величина, по которой находят долю молекул со скоростями в заданном малом интервале. Её значение показывает плотность распределения около выбранной скорости, а не готовую долю частиц. Поэтому для конечного интервала используют площадь под графиком.
Наиболее вероятная скорость — скорость, которой обладает наибольшее число молекул газа. На графике распределения она соответствует точке максимума. Эта скорость характеризует наиболее многочисленную группу, но не означает, что так движется каждая молекула.
Средняя квадратичная скорость — квадратный корень из среднего значения квадратов скоростей молекул. При её вычислении большие скорости сильнее влияют на результат, чем при обычном усреднении. Эта величина связана со средней кинетической энергией движения молекул.
В одном и том же газе молекулы сталкиваются друг с другом и передают энергию. После столкновений скорость каждой частицы может измениться, поэтому даже при постоянной температуре в газе есть и медленные, и быстрые молекулы. Температура связана с усреднённой энергией их движения, а не задаёт одну скорость для всех.
Функция распределения показывает, насколько велика доля частиц вблизи выбранной скорости. Для интервала скоростей её значения суммируются по всей ширине интервала, что на графике выражается площадью под кривой. Поэтому высокий узкий участок не обязательно соответствует большей доле молекул, чем более низкий, но широкий участок.
Кривая распределения Максвелла начинается с нуля: при нулевой скорости молекул практически нет, а очень медленные частицы встречаются редко. Затем число молекул растёт и достигает максимума, соответствующего наиболее вероятной скорости. На больших скоростях частиц снова становится мало, поскольку для такого движения нужна значительная энергия.
При нагревании молекулы в среднем получают больше кинетической энергии, и характерные скорости увеличиваются. Поэтому максимум распределения смещается вправо, к большим скоростям. Скорости распределяются по более широкому диапазону, так что максимум кривой становится ниже; меняется вся форма графика, а не только его крайнее значение.
При одинаковой температуре средняя энергия поступательного движения молекулы не зависит от её массы. Чтобы более тяжёлая частица имела такую же энергию, ей достаточно меньшей скорости, поскольку энергия пропорциональна произведению массы на квадрат скорости. Поэтому лёгкие молекулы при той же температуре движутся быстрее, а характерные скорости убывают с увеличением массы.
| Характеристика | Наиболее вероятная скорость | Средняя скорость | Средняя квадратичная скорость |
|---|---|---|---|
| Формула | vₙᵥ = √(2kT/m) | vср = √(8kT/(πm)) | vкв = √(3kT/m) |
| Положение на распределении | Максимум кривой | Среднее арифметическое скоростей молекул | Характеризует среднее значение квадратов скоростей |
| Сравнение значений | Наименьшая из трёх | Больше наиболее вероятной, меньше среднеквадратичной | Наибольшая из трёх |
| Зависимость от температуры и массы молекулы | Пропорциональна √T и обратно пропорциональна √m | Пропорциональна √T и обратно пропорциональна √m | Пропорциональна √T и обратно пропорциональна √m |
Здесь k — постоянная Больцмана, T — абсолютная температура в кельвинах, m — масса одной молекулы. Таблица помогает выбрать формулу под условие задачи и не смешивать три разных способа усреднения скоростей. Если температура растёт или масса молекул уменьшается, все три характерные скорости увеличиваются.
Условие: температура газа T = 300 К, масса молекулы m = 4,8 · 10⁻²⁶ кг. Найдём наиболее вероятную скорость. Используем постоянную Больцмана k = 1,38 · 10⁻²³ Дж/К.
Ответ: наиболее вероятная скорость молекул составляет примерно 4,2 · 10² м/с. Такая скорость соответствует максимуму распределения, но не является скоростью каждой молекулы. Перед вычислением важно перевести массу молекулы в килограммы.
Условие: требуется определить долю молекул со скоростями от 0,5 до 1,5 наиболее вероятной скорости по графику распределения Максвелла. На горизонтальной оси отложена безразмерная скорость x = v/vнаиб. вероятная. Точный ответ зависит от масштаба и точности графика.
Ответ: доля равна площади под кривой на участке от x = 0,5 до x = 1,5; численное значение считывают с конкретного графика. Высота кривой при x = 1 не является ответом. При оценке по рисунку результат обычно указывают приближённо.
Условие: один и тот же газ находится при температурах T₁ = 300 К и T₂ = 1200 К. Нужно сравнить наиболее вероятные скорости и описать изменение распределения. Масса молекул в обоих случаях одинакова.
Ответ: наиболее вероятная скорость увеличится в 2 раза. При этом возрастут и средняя, и средняя квадратичная скорости, так как все они пропорциональны √T. Изменится всё распределение, а не только скорость в его максимуме.
Ошибка: считать, что все молекулы движутся с наиболее вероятной скоростью. Так думают, потому что слово «наиболее» можно принять за описание всего газа, но речь идёт только о максимуме распределения. Проверка: вспомните, что кривая имеет ненулевую ширину, а значит, скорости молекул различаются.
Ошибка: принимать высоту графика за долю молекул. Высота показывает плотность распределения около скорости, поэтому такая путаница возникает при чтении графиков без учёта интервала. Проверка: доля на участке определяется площадью под кривой между его границами.
Ошибка: считать, что при нагревании растёт только максимальная скорость. Это упрощение не учитывает, что меняется вероятность разных скоростей: кривая смещается вправо, расширяется и становится ниже. Проверка: сравните распределения целиком и убедитесь, что площадь под нормированной кривой остаётся той же.
Ошибка: путать среднюю скорость со среднеквадратичной. Названия похожи, но во втором случае сначала усредняют квадраты скоростей и только затем извлекают корень, поэтому результат больше. Проверка: для идеального газа сравните формулы: vкв = √(3kT/m), vср = √(8kT/(πm)); среднеквадратичная скорость больше средней.
Для понимания распределения нужно знать связь температуры идеального газа со средней кинетической энергией хаотического движения молекул. Также пригодится умение читать графики плотности: площадь под кривой на интервале соответствует доле объектов в нём. Распределение Максвелла помогает объяснять давление газа, диффузию, испарение и другие явления молекулярной физики.
Почему нельзя считать, что все молекулы газа движутся с одинаковой скоростью?
Молекулы постоянно сталкиваются друг с другом и обмениваются энергией. Поэтому скорости отдельных частиц непрерывно меняются и в один момент оказываются разными. Температура задаёт среднюю энергию движения, а не одинаковую скорость каждой молекулы.
Что показывает высота графика распределения?
Она показывает плотность распределения — насколько много молекул приходится на малый интервал скоростей около выбранного значения. Саму долю молекул находят по площади под графиком на интервале, а не по его высоте.
Как по графику узнать долю молекул с заданными скоростями?
Нужно выделить на горизонтальной оси заданный интервал скоростей и оценить площадь под кривой над этим интервалом. Чем больше площадь, тем больше доля молекул. Если график дан в масштабе, долю можно оценить сравнением этой площади с общей площадью под кривой.
Почему при нагревании максимум графика смещается вправо?
При повышении температуры возрастает средняя кинетическая энергия хаотического движения молекул. Поэтому характерные скорости становятся больше, а наибольшая доля молекул приходится на более высокие скорости. Кривая при этом также расширяется и становится ниже.
Какая скорость больше — средняя или средняя квадратичная?
Средняя квадратичная скорость больше средней. При её вычислении сначала возводят скорости в квадрат, поэтому большие значения сильнее влияют на результат, а затем извлекают квадратный корень.
§ 51. Распределение молекул газа по скоростям
