§ 18. Свободные и вынужденные колебания

Определения и обозначения

Свободные колебания — это колебания, возникающие после первоначального воздействия на систему и продолжающиеся без дальнейшего периодического внешнего воздействия. Например, маятник отклонили и отпустили: после этого его движение поддерживает возвращающая сила. Понятие помогает отличить собственное движение системы от движения, которое постоянно задают извне.

Вынужденные колебания — это колебания, поддерживаемые периодически изменяющейся внешней силой. Она повторяется через равные промежутки времени и передаёт системе энергию. Так называют, например, движение груза, который регулярно раскачивают толчками.

Собственная частота — частота свободных колебаний системы, определяемая её свойствами. Она позволяет описать, с какой частотой система колебалась бы после однократного отклонения при отсутствии существенных потерь. Сравнение этой частоты с частотой внешнего воздействия помогает предсказать поведение системы.

Резонанс — резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний, когда частота внешнего воздействия совпадает или близка к собственной частоте системы. Амплитуда показывает наибольшее отклонение от положения равновесия. Понятие резонанса нужно, чтобы объяснять сильный отклик системы и оценивать его последствия.

Как это устроено

Если маятник отклонить и отпустить, сила тяжести вместе с натяжением нити стремится вернуть его к положению равновесия. Из-за инерции маятник проходит это положение и движется в другую сторону, поэтому возникает повторяющееся движение. Груз на пружине ведёт себя сходным образом: растянутая или сжатая пружина толкает груз обратно, а инерция не даёт ему остановиться сразу. После первоначального толчка для такого обмена движением не нужно снова и снова подталкивать систему.

В идеальной системе без потерь механическая энергия сохранялась бы, переходя между кинетической энергией движения и потенциальной энергией положения. В действительности сопротивление воздуха, трение и деформация деталей отнимают часть энергии при каждом цикле. Поэтому свободные колебания постепенно затухают: уменьшаются и скорость движения, и наибольшее отклонение. Их частота связана со свойствами системы, например с массой и жёсткостью пружины или с длиной маятника.

Чтобы колебания не затухали, на систему можно действовать периодической силой. При каждом повторении воздействия она совершает работу и передаёт энергию, компенсируя потери. Если сила действует регулярно, система совершает вынужденные колебания. Установившееся движение возникает после переходного этапа, когда влияние первоначального отклонения становится малым по сравнению с влиянием внешней силы.

В установившемся режиме система колеблется с частотой, задаваемой внешним воздействием. Причина в том, что сила повторяется с определённым периодом и каждый раз подталкивает систему в соответствующем ритме. Поэтому изменение частоты толчков приводит к изменению частоты вынужденных колебаний. Собственная частота при этом не меняется, если свойства самой системы остались прежними.

При сближении частоты внешней силы с собственной частотой система получает энергию особенно эффективно: повторяющиеся толчки согласуются с её движением. Из-за этого амплитуда вынужденных колебаний возрастает, а при совпадении частот возникает резонанс. Реальная амплитуда не растёт бесконечно, поскольку часть энергии теряется из-за сопротивления и трения. Резонанс может быть полезен в устройствах, но сильные колебания сооружений и механизмов приходится ограничивать.

Сравнение свободных и вынужденных колебаний

Сначала определите, действует ли на систему периодическая внешняя сила: это сразу помогает различить два вида колебаний. Затем сравните частоту движения с частотой воздействия или с собственной частотой системы. При оценке амплитуды учитывайте потери энергии: именно они влияют на затухание и выраженность резонанса.

Разбор задач

Маятник отклонили от положения равновесия и отпустили. Определить, какие колебания возникают и что будет происходить с ними при наличии сопротивления воздуха.

Маятник получил начальное отклонение, после чего его не подталкивают периодически. Нужно определить вид движения и учесть, что воздух оказывает сопротивление. Решение опирается на источник колебаний и изменение энергии.

1. После отпускания маятник движется под действием сил, возникающих внутри системы; периодическая внешняя сила его не раскачивает.
2. Значит, движение является свободными колебаниями. Сопротивление воздуха отнимает механическую энергию, поэтому амплитуда с каждым циклом становится меньше.

Ответ: возникают свободные затухающие колебания; со временем маятник остановится в положении равновесия.

Груз на пружине раскачивают периодическими толчками. Установить, чем задаётся частота установившихся колебаний и что изменится при изменении частоты толчков.

На груз регулярно действуют внешней силой, поэтому колебания не являются свободными. Требуется определить, какой ритм будет у установившегося движения. Сравним периодичность толчков с движением груза.

1. Каждый толчок повторяется с заданной частотой и передаёт грузу энергию. После переходного процесса движение устанавливается в ритме воздействия.
2. Следовательно, частота вынужденных колебаний равна частоте толчков. Если толкать груз чаще или реже, установившаяся частота также изменится.

Ответ: частоту задают внешние толчки; изменение их частоты меняет частоту установившихся колебаний.

Маятник с известной собственной частотой раскачивают внешней периодической силой; сравнить амплитуды при частотах воздействия, близкой к собственной и заметно отличающейся от неё.

В обоих случаях на маятник действует периодическая сила, поэтому речь идёт о вынужденных колебаниях. Сравнить нужно не только частоты, но и то, насколько эффективно сила передаёт энергию системе. Это зависит от близости частоты воздействия к собственной частоте маятника.

1. Если частота силы заметно отличается от собственной, толчки хуже согласованы с движением маятника и амплитуда сравнительно мала.
2. Если частоты близки, передача энергии становится более эффективной. Возникает резонансный рост амплитуды, ограниченный потерями энергии.

Ответ: при частоте воздействия, близкой к собственной, амплитуда обычно больше; заметное расхождение частот ослабляет колебания.

Типичные ошибки

Считать свободными колебания, которые постоянно поддерживаются периодической внешней силой, — ошибка: такое движение является вынужденным. Её допускают, потому что в обоих случаях система движется повторяющимся образом. Проверьте себя вопросом: получает ли система регулярно энергию от внешнего воздействия?

Неверно полагать, что частота вынужденных колебаний всегда равна собственной частоте системы. Собственная частота задаёт характер свободного движения, а установившиеся вынужденные колебания следуют за частотой внешней силы. Чтобы не перепутать их, отдельно назовите частоту системы и частоту воздействия.

Свободные колебания реальной системы обычно не сохраняют амплитуду: сопротивление и трение отнимают энергию. Постоянную амплитуду часто представляют по идеализированной модели, где потерь нет. Проверка проста: если в условии указаны воздух, трение или другие потери, ожидайте затухание.

Не всякое увеличение амплитуды является резонансом. Для резонанса нужно, чтобы частота внешнего воздействия приблизилась к собственной частоте системы; рост может быть связан и с другими причинами. Сравните именно эти две частоты и уточните, действует ли на систему периодическая сила.

Связь с другими темами

Для описания колебаний нужны понятия периода, частоты, амплитуды и положения равновесия. Связь кинетической и потенциальной энергий объясняет, как энергия переходит из одной формы в другую при свободном движении, а потери вызывают затухание. Понятия вынужденных колебаний и резонанса пригодятся при изучении электромагнитных колебаний и переменного тока. Они также помогают понять работу технических устройств и оценить влияние колебаний на сооружения и природные системы.

Что запомнить

• Свободные колебания возникают после первоначального воздействия без периодической внешней силы.
• Вынужденные колебания поддерживаются периодическим внешним воздействием.
• Собственная частота характеризует свободные колебания системы.
• В установившемся режиме частота вынужденных колебаний равна частоте внешнего воздействия.
• В реальной системе свободные колебания обычно затухают.
• Резонанс возникает, когда частота внешнего воздействия близка к собственной частоте системы.
• При резонансе амплитуда вынужденных колебаний может значительно увеличиться.