"Физика (базовый уровень)", Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Чаругин В.М. / Под ред. Парфентьевой Н.А.
При гармонических колебаниях тело движется периодически, а его кинетическая и потенциальная энергии непрерывно переходят одна в другую. В крайних положениях тело останавливается и энергия связана главным образом с его смещением, а при прохождении равновесия скорость и кинетическая энергия максимальны. Если потерями можно пренебречь, сумма этих энергий сохраняется. Это позволяет находить скорость, смещение и полную энергию колеблющегося тела, не прослеживая всё его движение.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Гармонические колебания — периодические колебания, при которых смещение тела от положения равновесия изменяется по синусоидальному закону. Смещение обозначают x, амплитуду — A; для пружинного маятника x меняется от −A до A. Поскольку энергия зависит от смещения и скорости, её значения тоже периодически меняются.
Кинетическая энергия — энергия движения тела, равная Eк = mv²/2, где m — масса, а v — скорость. Она зависит от квадрата скорости: если скорость увеличить вдвое, кинетическая энергия возрастёт в четыре раза. Эта формула помогает определить энергию тела в любой момент, когда известна его скорость.
Потенциальная энергия при колебаниях связана со смещением тела от равновесия и действием возвращающей силы. Для пружины Eп = kx²/2, где k — жёсткость, а x — смещение от положения равновесия. Квадрат смещения показывает, что при равных по модулю смещениях в разные стороны потенциальная энергия одинакова.
Полная механическая энергия колебаний — сумма кинетической и потенциальной энергий: E = Eк + Eп. Она сохраняется, если система идеальна и потери, например из-за трения, отсутствуют. Это позволяет сравнивать состояние тела в разных точках траектории и находить неизвестную скорость или смещение.
В крайнем положении смещение по модулю равно амплитуде, а скорость в этот момент равна нулю. Тело здесь меняет направление движения: сначала оно приближается к остановке, затем начинает двигаться обратно. Поэтому Eк = 0, а для пружины Eп = kA²/2 — наибольшая за цикл. Энергия не исчезла: в этот миг она полностью представлена потенциальной энергией.
Когда тело начинает двигаться от крайнего положения к равновесию, пружина сжимается или растягивается всё меньше. Возвращающая сила совершает работу и разгоняет тело, поэтому скорость возрастает. Одновременно уменьшается Eп = kx²/2, а Eк = mv²/2 увеличивается. В идеальном случае убыль потенциальной энергии в точности равна приросту кинетической.
В положении равновесия смещение равно нулю, поэтому потенциальная энергия пружины минимальна. Тело в этот момент движется быстрее всего: накопленная при приближении кинетическая энергия максимальна. Затем тело проходит равновесие по инерции и продолжает удаляться от него. Таким образом, равновесие — не остановка, а точка, где скорость наибольшая.
При движении от равновесия к противоположному крайнему положению пружина всё сильнее деформируется и замедляет тело. Скорость и кинетическая энергия уменьшаются, зато потенциальная энергия растёт. В новом крайнем положении скорость снова становится нулевой, а энергия вновь оказывается потенциальной. Дальше процесс повторяется в обратном направлении.
В идеальной системе сумма Eк + Eп остаётся постоянной, потому что действует закон сохранения механической энергии: энергия не возникает и не исчезает, а только переходит из одной формы в другую. Для пружинного маятника это записывается как mv²/2 + kx²/2 = kA²/2. Правая часть — энергия в крайнем положении, где x = A и v = 0. При трении часть механической энергии переходит во внутреннюю энергию, поэтому эта сумма уже не остаётся постоянной.
| Положение тела | Смещение | Скорость | Кинетическая энергия | Потенциальная энергия | Полная энергия |
|---|---|---|---|---|---|
| Крайнее положение | |x| = A | Ноль | Ноль | Максимальна | Постоянна |
| Промежуточное положение при движении к равновесию | Уменьшается по модулю | Возрастает | Возрастает | Уменьшается | Постоянна |
| Положение равновесия | x = 0 | Максимальна | Максимальна | Минимальна | Постоянна |
| Промежуточное положение при движении к крайнему положению | Возрастает по модулю | Уменьшается | Уменьшается | Возрастает | Постоянна |
Читайте таблицу, отслеживая движение тела от крайнего положения к равновесию, а затем обратно. Стрелки изменений показывают, какая форма энергии растёт, а какая уменьшается. В идеальной системе значение в последнем столбце не меняется.
Пружинный маятник массой 0,20 кг движется со скоростью 0,50 м/с в положении равновесия. Найдём его полную энергию. В равновесии потенциальная энергия пружины минимальна; если её ноль выбран в этой точке, полная энергия равна кинетической.
Ответ: 0,025 Дж.
Амплитуда колебаний равна 0,10 м, жёсткость пружины — 80 Н/м, масса тела — 0,20 кг. Сначала найдём полную энергию в крайнем положении, где скорость нулевая и энергия пружины максимальна. Затем приравняем её кинетической энергии в равновесии, чтобы получить максимальную скорость.
Ответ: полная энергия равна 0,40 Дж, максимальная скорость — 2,0 м/с.
Амплитуда равна 0,12 м, смещение — 0,08 м, скорость — 0,60 м/с. Требуется найти массу и жёсткость пружины. Здесь важно сначала проверить, достаточно ли данных: закон сохранения энергии даёт одно соотношение для двух неизвестных.
Получено только отношение k/m, а не два независимых значения. Например, каждой выбранной массе соответствует жёсткость k = 45m, поэтому без дополнительного условия единственного решения нет. Ответ: определить массу и жёсткость отдельно по данным задачи нельзя; известно лишь k/m = 45 с⁻².
Ошибка: считать постоянной только кинетическую или только потенциальную энергию. Так думают, замечая сохранение энергии, но забывают, что оно относится к сумме Eк + Eп. Проверка: сравните крайнее положение и равновесие — значения каждой составляющей различны, а сумма в идеальной системе одинакова.
Ошибка: путать крайнее положение с равновесием. Это происходит, если ориентироваться только на положение тела и не учитывать направление движения. В крайних точках тело мгновенно останавливается, а в равновесии его скорость максимальна; проверяйте, где смещение равно A, а где x = 0.
Ошибка: записывать энергию пружины пропорциональной смещению. Сила пружины пропорциональна смещению, и это иногда переносят на энергию без проверки. Потенциальная энергия равна kx²/2; убедитесь, что при удвоении x она возрастает в четыре раза.
Ошибка: считать превращение энергий потерей энергии. При движении Eк и Eп меняются, но в идеальной системе одна форма переходит в другую. Проверяйте систему целиком: при трении часть механической энергии рассеивается, а без потерь сохраняется именно механическая сумма.
Для разбора колебаний нужны формулы кинетической и потенциальной энергий и закон сохранения механической энергии. Их применяют к пружинному и математическому маятникам, а в реальных системах учитывают трение и рассеяние энергии. Кинематика гармонических колебаний связывает смещение и скорость с временем, поэтому её можно сопоставить с изменениями энергий: при разных x и v меняются Eп и Eк.
Почему в крайнем положении тело на мгновение останавливается?
В крайнем положении тело достигает наибольшего по модулю смещения, после которого начинает двигаться обратно. Скорость на мгновение становится равной нулю, поэтому кинетическая энергия в этот момент тоже равна нулю.
Почему скорость тела максимальна в положении равновесия?
При движении к равновесию восстанавливающая сила разгоняет тело, а потенциальная энергия уменьшается. В равновесии потенциальная энергия минимальна, поэтому при сохранении полной энергии кинетическая энергия и скорость достигают максимума.
Как найти полную энергию пружинного маятника?
Если известны жёсткость пружины k и амплитуда A, используйте E = kA²/2. В положении равновесия ту же энергию можно найти по скорости: E = mv²/2.
Меняется ли полная энергия при переходе тела из одного положения в другое?
В идеальной системе без трения полная механическая энергия не меняется: кинетическая и потенциальная энергии перераспределяются, но их сумма остаётся прежней. При наличии потерь механическая энергия уменьшается.
Что происходит с энергией колебаний, если в системе есть трение?
Часть механической энергии переходит во внутреннюю энергию тела и окружающей среды, например в тепло. Поэтому амплитуда колебаний со временем уменьшается, а механическая энергия не сохраняется.
§ 24. Превращение энергии при гармонических колебаниях
