§ 25. Вынужденные колебания. Резонанс

Определения и обозначения

Вынужденные колебания — колебания системы под действием внешней периодической силы. В отличие от свободных, они не поддерживаются только запасённой в системе энергией: на тело регулярно воздействуют извне. Это определение помогает понять, почему амплитуда может сохраняться даже тогда, когда свободные колебания затухли.

Вынуждающая сила — внешняя периодическая сила, которая поддерживает колебания системы. Если её период равен Tв, то частота νв = 1/Tв показывает, сколько циклов воздействия происходит за единицу времени. Обозначения позволяют сравнивать ритм внешних толчков с собственным ритмом системы.

Резонанс — резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний, когда частота внешнего воздействия совпадает или близка к собственной частоте системы. Амплитуда — наибольшее отклонение от положения равновесия. Понятие резонанса нужно, чтобы описывать случаи особенно эффективной передачи энергии колебательной системе.

Резонансная частота — частота внешней силы, при которой амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума. В идеализированной системе без потерь она совпадает с собственной частотой, а при затухании максимум может приходиться на близкое значение. Это понятие помогает определить, при каком ритме воздействия колебания будут наиболее сильными.

Как это устроено

В реальной системе часть механической энергии постоянно уходит на преодоление трения и сопротивления среды. Поэтому после однократного отклонения свободные колебания постепенно уменьшаются и в конце концов прекращаются. Периодическое внешнее воздействие может восполнять потери, передавая системе энергию при каждом цикле. Если поступление энергии компенсирует её рассеяние, устанавливаются колебания с постоянной амплитудой.

Представим маятник, который регулярно подталкивают через одинаковые промежутки времени. Каждый толчок отклоняет его от равновесия, а затем маятник проходит привычный путь и получает следующий толчок. Такое движение является вынужденным, потому что его поддерживает внешнее воздействие. Период толчков задаёт период установившихся колебаний, а значит, их частоту.

У маятника есть собственная частота: она зависит от его свойств и определяет ритм свободных колебаний. Но при вынужденном движении каждый цикл связан с повторяющейся внешней силой. Если бы система продолжала колебаться только на собственной частоте, её фаза постепенно расходилась бы с моментами толчков, и воздействие не задавало бы устойчивый ритм. После переходного процесса устанавливается режим, в котором маятник колеблется с частотой внешней силы.

Собственная частота ν₀ характеризует систему, а частота вынуждающей силы νв характеризует внешнее воздействие. При далёких друг от друга частотах энергия передаётся не так эффективно: толчок может приходиться на момент, когда он слабо увеличивает движение. Когда частоты близки, сила действует в подходящие моменты и за много циклов заметно увеличивает амплитуду. Особенно сильный рост вблизи совпадения частот называют резонансом.

При резонансе внешняя сила передаёт системе энергию в такт её колебаниям, поэтому амплитуда возрастает. Однако с ростом амплитуды становятся существенными потери энергии на трение и сопротивление среды. В установившемся режиме поступление энергии за цикл уравновешивается потерями, и амплитуда перестаёт расти. Чем сильнее сопротивление, тем меньшего максимума она достигает и тем менее заметен резонанс.

Свободные и вынужденные колебания; резонанс

Сначала определите, что именно поддерживает движение: первоначальный запас энергии или внешняя периодическая сила. Затем сравните частоту этой силы с собственной частотой системы. Последний столбец описывает не отдельный вид причины колебаний, а особый режим вынужденного движения.

Разбор задач

Задача 1. Маятник подталкивают через одинаковые промежутки времени. Нужно определить, являются ли его колебания вынужденными и что задаёт их частоту. Здесь важно не перепутать частоту толчков с собственной частотой маятника. Сначала выясним, какую роль играют повторяющиеся толчки.

1. Толчки действуют извне и повторяются через равные промежутки времени, значит, воздействие периодическое.
2. Внешняя сила передаёт маятнику энергию и поддерживает его движение. Следовательно, колебания являются вынужденными.
3. В установившемся режиме ритм движения задаёт период толчков. Собственная частота маятника может влиять на амплитуду, но не определяет частоту вынужденных колебаний.

Ответ: колебания вынужденные, их частоту задаёт внешнее периодическое воздействие. Чтобы оценить амплитуду, дополнительно сравнивают частоту толчков с собственной частотой маятника.

Задача 2. Система имеет собственную частоту 2 Гц. Для нескольких частот вынуждающей силы нужно сравнить ожидаемые амплитуды и указать, где возможен резонанс. Числовой список частот не задан, поэтому результат удобно сформулировать как правило для каждой из них. Ищем частоту, наиболее близкую к 2 Гц.

1. Для каждой заданной частоты νв вычислите или оцените расстояние до собственной частоты: |νв − 2 Гц|.
2. Если частота внешней силы близка к 2 Гц, ожидается наибольшая амплитуда и возможен резонанс. Чем заметнее расхождение частот, тем слабее ожидаемый резонансный рост.
3. Для точного сравнения амплитуд нужно знать также затухание и свойства воздействия. Без этих данных можно определить область резонанса, но нельзя вычислить конкретные амплитуды.

Ответ: резонанс возможен при частоте вынуждающей силы, совпадающей или близкой к 2 Гц; в этой области амплитуда максимальна. Среди предложенных значений следует выбрать ближайшее к 2 Гц, учитывая, что точная ширина резонансной области зависит от затухания.

Задача 3. Два одинаковых маятника подталкивают с одинаковой частотой, но один колеблется в воздухе, а другой — в среде с большим сопротивлением. Нужно сравнить их установившиеся амплитуды. Частота внешних толчков одинакова, поэтому сравнивать следует не ритм воздействия, а потери энергии. Более сильное сопротивление означает большее затухание.

1. Одинаковая частота толчков означает, что оба маятника совершают установившиеся вынужденные колебания с одной частотой.
2. Если частота толчков близка к собственной частоте, у обоих маятников возможно усиление колебаний. Но в среде с большим сопротивлением за цикл теряется больше энергии.
3. Для поддержания установившегося движения внешняя сила должна восполнить потери. При большом сопротивлении это равновесие достигается при меньшей амплитуде, поэтому резонанс выражен слабее.

Ответ: маятник в воздухе будет иметь большую установившуюся амплитуду, если прочие условия одинаковы. В среде с большим сопротивлением потери энергии сильнее и ограничивают размах колебаний.

Типичные ошибки

Ошибка: считать частоту вынужденных колебаний всегда равной собственной частоте. Так думают, потому что собственная частота описывает привычный ритм свободного движения. Но в установившемся вынужденном режиме ритм задаёт внешняя сила. Проверьте себя: найдите, какая сила повторяется периодически, и сравните частоту движения с частотой воздействия.

Ошибка: называть резонансом любые вынужденные колебания. Вынужденное движение возникает при периодической силе и без совпадения частот. Резонансом называют случай близости частот, сопровождающийся резким увеличением амплитуды. Проверьте себя: есть ли одновременно близость частот и выраженный рост амплитуды?

Ошибка: считать, что при резонансе амплитуда становится бесконечной. Такое впечатление возникает из упрощённых рассуждений, где потерями энергии пренебрегают. В реальной системе трение и сопротивление ограничивают рост, уравновешивая поступление энергии. Проверьте себя: учтены ли потери и установившийся режим?

Ошибка: полагать, что увеличение частоты силы всегда увеличивает амплитуду. Амплитуда определяется не одной частотой, а её соотношением с собственной частотой и величиной затухания. После прохождения области резонанса она может уменьшиться, даже если частота продолжает расти. Проверьте себя: сравните частоты и уточните, находится ли система вблизи резонанса.

Связь с другими темами

Для понимания вынужденных колебаний нужны представления о свободных и затухающих колебаниях, периоде, частоте и собственной частоте системы. Эти понятия помогают различать ритм самой системы и ритм внешнего воздействия. Резонанс встречается в работе музыкальных инструментов и помогает объяснить раскачивание качелей. Он также важен при оценке колебаний мостов и сооружений, где сильное увеличение амплитуды может быть опасным.

Что запомнить

• Вынужденные колебания возникают под действием внешней периодической силы.
• Частоту установившихся вынужденных колебаний задаёт вынуждающая сила.
• Резонанс возникает при совпадении или близости частоты внешней силы и собственной частоты системы.
• При резонансе амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает.
• Трение и другие потери ограничивают резонансную амплитуду.
• Чем сильнее затухание, тем менее выражен резонанс.