13. Вынужденные колебания. Резонанс

Определения и обозначения

Вынужденные колебания — колебания системы под действием внешней периодической силы. В отличие от свободных колебаний, они не поддерживаются только начальным толчком и запасённой энергией. Это понятие помогает определить, откуда система получает энергию и почему колебания продолжаются.

Вынуждающая сила — периодически изменяющееся внешнее воздействие, которое поддерживает колебания системы. Например, рука может ритмично толкать качели. Сила передаёт системе энергию и задаёт частоту, с которой происходит воздействие.

Резонанс — резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний, когда частота внешнего воздействия близка к собственной частоте системы. Амплитуда — наибольшее отклонение от положения равновесия. Понятие резонанса нужно, чтобы объяснить, почему одинаковая сила при одной частоте вызывает слабый отклик, а при другой — сильный.

Резонансная частота — частота внешнего воздействия, при которой амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума. Её определяют, меняя частоту силы и сравнивая размах колебаний. При небольших потерях резонансная частота близка к собственной частоте системы.

Как это устроено

Периодическая внешняя сила то толкает систему в одну сторону, то в другую и при этом передаёт ей энергию. Если воздействие прекращается, система теряет энергию на преодоление трения, поэтому свободные колебания постепенно затухают. Вынуждающая сила восполняет эти потери и поддерживает движение. После переходного процесса, когда первоначальные колебания ослабевают, остаются колебания с частотой самой внешней силы.

Амплитуда зависит от частоты воздействия, потому что система не одинаково реагирует на быстрые и медленные толчки. При одной частоте сила может действовать в моменты, когда её влияние помогает уже начатому движению. При другой частоте толчки приходятся на менее подходящие моменты, и энергия передаётся хуже. Поэтому изменение частоты силы меняет установившийся размах колебаний, даже если сила остаётся такой же.

Резонанс возникает, когда частота внешнего воздействия совпадает с собственной частотой системы или достаточно близка к ней. Тогда каждый очередной толчок помогает движению, начатому предыдущими толчками, и энергия накапливается особенно эффективно. В результате амплитуда становится намного больше, чем при заметно отличающихся частотах. Частоту воздействия, при которой амплитуда максимальна, называют резонансной.

Бесконечно расти амплитуда не может: часть энергии уходит на трение и другие потери. В установившемся режиме энергия, получаемая от внешней силы, за каждый цикл компенсирует энергию, которая рассеивается. Чем сильнее потери, тем меньше амплитуда при резонансе и тем менее выражен резонансный максимум. При малом трении энергия уходит медленнее, поэтому резонанс проявляется сильнее.

Резонанс полезен, когда нужно усилить колебания или выбрать звук нужной частоты. Музыкальный инструмент усиливает некоторые колебания благодаря резонансу, а периодические толчки помогают раскачивать качели. Но сильные колебания могут повредить сооружение или машину, если частота внешних воздействий близка к собственной частоте конструкции. Поэтому при проектировании учитывают возможный резонанс и стараются уменьшить его опасные последствия.

График показывает, как меняется амплитуда при изменении частоты внешней силы. По горизонтальной оси отложено отношение частоты воздействия ω к собственной частоте ω₀, а по вертикальной — отношение амплитуды к статическому отклонению Aст. Наибольшее значение кривой соответствует резонансному максимуму. При больших потерях этот пик становится ниже и шире.

Свободные и вынужденные колебания: условия и особенности

Таблица помогает сравнить, что вызывает колебания, откуда берётся энергия и кто задаёт частоту. В последнем столбце показан особый случай вынужденных колебаний — резонанс. Сравнивая амплитуду, помните, что она зависит и от частоты воздействия, и от потерь энергии.

Разбор задач

Задача 1. К маятнику приложена периодическая внешняя сила. Нужно определить вид колебаний и частоту движения после переходного процесса. Важно выяснить, продолжает ли система получать энергию извне и что задаёт установившийся ритм.

1. На маятник действует периодическая внешняя сила, поэтому колебания являются вынужденными, а не свободными.
2. Сначала движение может складываться из переходных колебаний и отклика на силу. Со временем переходная составляющая затухает из-за потерь энергии.
3. В установившемся режиме частота маятника становится равной частоте внешней силы. Собственная частота может повлиять на амплитуду, но не задаёт установившуюся частоту.

Ответ: возникнут вынужденные колебания; после переходного процесса маятник будет колебаться с частотой внешней силы.

Задача 2. Собственная частота системы равна 2 Гц. Сравним её колебания при воздействии с частотами 0,5 Гц, 2 Гц и 5 Гц. Требуется определить, при каком воздействии ожидается наибольшая амплитуда.

1. Сопоставляем каждую частоту силы с собственной частотой 2 Гц. При 0,5 Гц частота воздействия заметно ниже, а при 5 Гц — выше собственной.
2. При 2 Гц частоты совпадают, поэтому ожидается резонанс. Внешняя сила передаёт энергию системе особенно эффективно.
3. При 0,5 Гц и 5 Гц резонанс не ожидается, поэтому амплитуда обычно меньше, чем при частоте 2 Гц. Точные значения амплитуд без данных о силе и потерях определить нельзя.

Ответ: наибольшая амплитуда ожидается при воздействии с частотой 2 Гц; при 0,5 Гц и 5 Гц она будет меньше.

Задача 3. Два одинаковых маятника раскачивают силами одинаковой частоты, близкой к собственной частоте маятников. У одного маятника трение больше. Нужно сравнить установившиеся амплитуды и объяснить различие.

1. Оба маятника испытывают вынужденные колебания с одной и той же частотой воздействия. Поскольку она близка к собственной частоте, для обоих возможен резонансный отклик.
2. У маятника с большим трением больше энергии теряется за каждый цикл. Поэтому при одинаковом воздействии его амплитуда не может вырасти так сильно.
3. У маятника с меньшим трением потери слабее, а резонанс выражен сильнее. При установившемся движении энергия от внешней силы уравновешивает потери, но их величина у маятников различна.

Ответ: амплитуда маятника с меньшим трением будет больше; более сильные потери ограничивают амплитуду.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что частота вынужденных колебаний всегда равна собственной частоте системы. Так думают, потому что собственную частоту изучают при свободных колебаниях. Но после переходного процесса частоту задаёт внешняя сила. Проверьте себя: спросите, что периодически воздействует на систему, и сравните частоту силы с частотой колебаний.

Ошибка: полагать, что при резонансе амплитуда растёт безгранично. Такой вывод возникает, если учитывать только передачу энергии и забывать о трении. В реальной системе потери ограничивают амплитуду, а в установившемся режиме полученная энергия уравновешивает потерянную. Проверьте, учтены ли в рассуждении трение и другие потери.

Ошибка: называть резонансом любое увеличение амплитуды. Амплитуда может измениться и по другим причинам, например из-за усиления внешней силы. Для резонанса необходимо, чтобы частота воздействия была близка к собственной частоте системы. Проверьте, указано ли это условие, прежде чем делать вывод о резонансе.

Ошибка: считать резонанс только вредным или только полезным. Его последствия зависят от того, где и насколько сильно возрастают колебания. Усиление звука или раскачивание качелей может быть желательным, а колебания сооружения — опасным. Проверьте, какую роль играет резонанс в конкретной ситуации, а не оценивайте явление само по себе.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны знания о свободных колебаниях, периоде, частоте и собственной частоте системы. Также пригодятся представления о превращениях энергии и о том, как трение приводит к её потерям. Эти понятия позволяют объяснить, почему внешняя сила поддерживает движение и почему амплитуда не растёт бесконечно.

Идея резонанса встречается при изучении звука и колебаний в электрических цепях. Она помогает понять, почему системы особенно сильно откликаются на воздействия определённой частоты. Те же знания используют, рассматривая колебания сооружений и машин и способы уменьшить их опасное усиление.

Что запомнить

• Вынужденные колебания происходят под действием периодической внешней силы.
• В установившемся режиме частота колебаний равна частоте внешнего воздействия.
• Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты воздействия.
• При близости частоты воздействия к собственной частоте системы возникает резонанс.
• Потери энергии ограничивают амплитуду резонансных колебаний.
• Резонанс может быть как полезным, так и опасным.