§ 26. Вынужденные колебания. Резонанс

Определения и обозначения

Вынужденные колебания — колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы. После начала воздействия движение повторяется, пока сила поддерживает его. Частоту таких колебаний задаёт частота внешней силы, поэтому она может не совпадать с собственной частотой системы.

Вынуждающая сила — внешняя периодическая сила, которая поддерживает колебания системы. Например, человек раскачивает качели повторяющимися толчками. Понятие помогает отличить источник движения от самой колеблющейся системы.

Резонанс — резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний, когда частота внешней силы близка к собственной частоте системы. Амплитуда показывает наибольшее отклонение от положения равновесия. Это определение помогает распознать случай, когда небольшое периодическое воздействие вызывает особенно заметные колебания.

Собственная частота колебаний — частота свободных колебаний системы после того, как её вывели из положения равновесия и перестали воздействовать на неё. Она зависит от свойств самой системы, например от длины маятника. Сравнивая её с частотой внешней силы, можно предсказать, насколько большой будет амплитуда.

Как это устроено

Чтобы колебания продолжались, система должна получать энергию, которую постепенно отнимают трение и другие потери. Периодическое внешнее воздействие передаёт ей энергию снова и снова и тем самым поддерживает движение. Например, каждый толчок качелей добавляет энергию, а без новых толчков качание постепенно ослабевает. Так возникают вынужденные колебания: их причина — не только первоначальный толчок, но и продолжающееся воздействие.

Сначала система может двигаться неравномерно: её колебания и действие внешней силы ещё не согласованы. Через некоторое время устанавливается режим, в котором колебания повторяются вместе с периодом воздействия. Поэтому частота установившихся вынужденных колебаний совпадает с частотой вынуждающей силы. Собственная частота описывает свободное движение системы, но не заставляет её сохранять эту частоту, когда действует другая периодическая сила.

Амплитуда зависит от того, насколько частота внешнего воздействия отличается от собственной частоты системы. Если различие велико, энергия передаётся менее эффективно, и отклонения обычно остаются небольшими. При сближении частот система успевает получать энергию в подходящие моменты своего движения. Поэтому амплитуда возрастает, хотя частота самих установившихся колебаний по-прежнему задаётся внешней силой.

Когда частоты близки, наступает резонанс: действие силы особенно хорошо согласуется с движением системы. В результате за много повторений в системе накапливается больше энергии, и амплитуда резко увеличивается. Но часть энергии постоянно уходит на преодоление трения и другие потери, поэтому рост не бесконечен. Резонанс полезен, когда нужно раскачать качели или усилить звук; опасен, если колебания сооружения становятся слишком большими, поэтому конструкции защищают, например, изменяя их свойства или уменьшая передаваемую энергию.

Свободные и вынужденные колебания. Резонанс

Сравните в таблице, что запускает колебания и чем определяется их частота. Строка о собственной частоте помогает отделить характеристику самой системы от режима внешнего воздействия. Используйте последнюю строку, чтобы помнить: потери энергии мешают амплитуде неограниченно расти.

Разбор задач

Задача 1. К качающемуся маятнику периодически прикладывают внешнюю силу с частотой, отличной от собственной частоты маятника. Определите частоту установившихся колебаний.

1. Выясним, что поддерживает движение: периодическая внешняя сила, значит, колебания вынужденные.
2. Для установившихся вынужденных колебаний частоту задаёт вынуждающая сила, а не собственная частота маятника.
3. Следовательно, частота колебаний совпадает с частотой приложения силы, даже если они не равны собственной частоте маятника.

Ответ: частота установившихся колебаний равна частоте внешней силы.

Задача 2. Маятник раскачивают толчками с разной частотой. Укажите, при каком соотношении частоты толчков и собственной частоты амплитуда будет наибольшей.

1. Толчки являются периодической внешней силой, а значит, задают частоту вынужденных колебаний.
2. Сравним частоту толчков с собственной частотой маятника. Если они близки, система особенно эффективно получает энергию при каждом воздействии.
3. Это условие резонанса, при котором амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает. Если частоты заметно различаются, такой сильный рост не ожидается.

Ответ: наибольшая амплитуда будет, когда частота толчков близка к собственной частоте маятника.

Задача 3. Две одинаковые конструкции испытывают периодические воздействия с частотой, близкой к их собственной частоте. В одной конструкции потери энергии больше. Сравните ожидаемые резонансные амплитуды и объясните, как уменьшить опасность колебаний.

1. Обе конструкции находятся в условиях, близких к резонансу, поэтому в каждой амплитуда может увеличиваться.
2. В конструкции с большими потерями больше энергии рассеивается, например, из-за трения. Значит, при прочих равных её резонансная амплитуда будет меньше.
3. Чтобы уменьшить опасность, можно увеличить рассеяние энергии или изменить конструкцию так, чтобы её собственная частота не совпадала с частотой воздействия. Также следует избегать периодических воздействий, близких к собственной частоте.

Ответ: меньшая амплитуда ожидается у конструкции с большими потерями энергии; опасность снижают демпфированием или изменением собственной частоты.

Типичные ошибки

Ошибка: считать частоту вынужденных колебаний всегда равной собственной частоте системы. Такое представление возникает из-за смешения свойств системы и внешнего воздействия. В установившемся режиме частоту задаёт вынуждающая сила. Проверь себя: если частота силы изменится, изменится и частота вынужденных колебаний.

Ошибка: называть резонансом любые вынужденные колебания. Вынужденное движение может происходить и при далёких друг от друга частотах, но резонанса тогда нет. Термин относится к случаю, когда частоты близки и амплитуда заметно увеличивается. Проверь себя: спроси, есть ли условие близости частот и выраженный рост амплитуды.

Ошибка: полагать, что при резонансе амплитуда становится бесконечной. Так можно подумать, если представить, что система получает энергию без остановки. В реальности трение и прочие потери рассеивают часть энергии, поэтому рост ограничен. Проверь себя: учитывай, что потери есть у настоящих систем и что график резонанса имеет конечный максимум.

Ошибка: считать трение причиной резонансного роста амплитуды. Его роль можно перепутать с ролью внешней силы, которая передаёт системе энергию. Трение, наоборот, рассеивает энергию и обычно уменьшает амплитуду, в том числе при резонансе. Проверь себя: определи, добавляет ли фактор энергию колебаниям или отнимает её.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны знания о периоде, частоте и амплитуде, а также о свободных колебаниях. Связь силы с движением помогает объяснить, почему периодическое воздействие передаёт системе энергию. Позже эти идеи пригодятся при изучении звуковых явлений и колебаний в электрических цепях. Понимание резонанса также важно для защиты сооружений: нужно учитывать частоты воздействий и собственные частоты конструкций.

Что запомнить

• Вынужденные колебания поддерживаются периодической внешней силой.
• В установившемся режиме частота вынужденных колебаний равна частоте внешнего воздействия.
• Собственная частота характеризует свободные колебания системы.
• Резонанс возникает, когда частота внешнего воздействия близка к собственной частоте.
• При резонансе амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает.
• Трение и другие потери энергии ограничивают резонансную амплитуду.