"Физика", Пурышева Н.С., Важеевская Н.Е., Чаругин В.М.
Вынужденные колебания возникают, когда на систему действует периодическая внешняя сила, снова и снова передающая ей энергию. После короткого переходного процесса система колеблется с частотой этой силы, а не обязательно с собственной частотой. Если частоты близки, амплитуда может резко возрасти — это резонанс. Он помогает усиливать звук и настраивать устройства, но при сильных колебаниях способен повредить конструкции.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Вынужденные колебания — колебания системы под действием внешней периодической силы. После затухания переходного процесса их частота совпадает с частотой этой силы. Это понятие помогает отличить колебания, которые система поддерживает сама, от тех, которые ей регулярно задают извне.
Вынуждающая сила — внешняя периодически изменяющаяся сила, поддерживающая колебания системы. Частота её повторения называется частотой воздействия. Зная эту частоту, можно предсказать, с каким ритмом будет колебаться система в установившемся режиме.
Резонанс — резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний, когда частота внешнего воздействия близка к собственной частоте системы. Амплитуда показывает наибольшее отклонение от положения равновесия. Понятие резонанса нужно, чтобы описать, почему при определённом ритме воздействия небольшая сила может вызвать заметные колебания.
Резонансная частота — частота внешнего воздействия, при которой амплитуда вынужденных колебаний достигает наибольшего значения. В системе с затуханием эта частота может быть близка, но не точно равна собственной частоте. Она нужна для определения режима, при котором отклик системы наиболее сильный.
Внешняя периодическая сила поочерёдно действует на систему в разные моменты времени и передаёт ей энергию. Поэтому колебания могут продолжаться, даже если первоначально сообщённая системе энергия уже потеряна из-за затухания. При отсутствии такой подпитки свободные колебания постепенно ослабели бы, а вынуждающая сила компенсирует потери и поддерживает движение.
После включения силы система сначала проходит переходный процесс: её движение складывается из вынужденной составляющей и колебаний, связанных с её собственными свойствами. Собственная составляющая затухает, потому что энергия рассеивается, например, из-за трения. Остаются установившиеся колебания, и их частота равна частоте вынуждающей силы: именно сила повторяет своё воздействие с этим ритмом и задаёт системе темп.
Амплитуда зависит от частоты воздействия, потому что энергия передаётся системе не одинаково эффективно при разных ритмах. Если воздействие слишком медленное или быстрое относительно собственных колебаний, система не успевает накапливать энергию от одного цикла к следующему. По мере приближения частоты воздействия к собственной частоте энергия поступает всё согласованнее, поэтому амплитуда возрастает.
Когда частоты близки, возникает резонанс, а амплитуда достигает максимума при резонансной частоте. Без затухания максимум был бы точно при совпадении частот, но реальные системы теряют энергию. Поэтому при затухании наибольшая амплитуда может соответствовать частоте, лишь близкой к собственной, а само затухание ограничивает рост колебаний.
Чем меньше затухание, тем меньше энергии теряется за цикл и тем выше резонансный максимум; одновременно он становится уже. Резонанс полезен, когда требуется усилить звук или настроить устройство на нужную частоту. Он опасен, если большие колебания расшатывают сооружение или повреждают механизм, поэтому при проектировании учитывают частоты возможных воздействий и затухание.
| Свойство | Свободные колебания | Вынужденные колебания | Вынужденные колебания при резонансе |
|---|---|---|---|
| Причина возникновения | Начальное отклонение или толчок | Действие внешней периодической силы | Периодическая сила с частотой, близкой к собственной частоте системы |
| Что поддерживает колебания | Запасённая в системе энергия; со временем она рассеивается | Энергия, передаваемая вынуждающей силой | Вынуждающая сила передаёт энергию особенно эффективно |
| Частота колебаний | Собственная частота системы | Частота внешнего воздействия в установившемся режиме | Частота воздействия, близкая к собственной |
| Зависимость амплитуды от внешнего воздействия | Определяется начальным сообщением энергии | Зависит от силы воздействия и его частоты | Достигает наибольшего значения |
| Роль затухания | Амплитуда постепенно уменьшается | Ограничивает амплитуду | Ограничивает максимум; меньшее затухание даёт более высокий и узкий максимум |
Сравнивайте колонки по строкам: так видно, чем различаются причина и частота колебаний в каждом случае. Для резонанса особенно важны строки о частоте и амплитуде. Строка о затухании показывает, почему реальный резонансный максимум конечен.
Задача 1. На систему действует периодическая сила с частотой 3 Гц. Какова частота установившихся вынужденных колебаний? Нужно определить, чья частота задаёт ритм после завершения переходного процесса. Не следует подменять её собственной частотой системы: в условии требуется именно частота установившихся колебаний.
Ответ: 3 Гц.
Задача 2. Собственная частота маятника равна 2 Гц. Частоту внешнего воздействия постепенно увеличивают от 1 до 4 Гц. При какой частоте ожидается наибольшая амплитуда? Здесь надо найти среди заданного диапазона частоту, близкую к собственной, поскольку именно в её окрестности возникает резонанс. Точное положение максимума зависит от затухания, о котором в условии ничего не сказано.
Ответ: около 2 Гц, вблизи собственной частоты маятника.
Задача 3. Два одинаковых резонатора имеют одинаковую собственную частоту, но в одном затухание сильнее. Сравните амплитуды их колебаний при воздействии с резонансной частотой. Поскольку системы одинаковы по собственной частоте, различие отклика связано с затуханием. При одном и том же резонансном воздействии больше энергии теряет за цикл резонатор с более сильным затуханием.
Ответ: амплитуда больше у резонатора с меньшим затуханием.
Ошибка: считать, что частота вынужденных колебаний всегда равна собственной частоте системы. Так думают, потому что смешивают свойства системы с ритмом внешнего воздействия. Проверьте себя: в установившемся режиме сравните частоту колебаний с частотой силы, а собственную частоту используйте при оценке резонанса.
Ошибка: считать резонансом любую большую амплитуду. Большие колебания могут быть вызваны сильной силой, даже если её частота далека от собственной частоты системы. Чтобы проверить вывод, выясните, близки ли частоты воздействия и собственная; без этого признака нельзя утверждать, что наблюдается резонанс.
Ошибка: полагать, что при резонансе амплитуда становится бесконечной. Такое представление возникает, если забыть о потерях энергии в реальных системах. Проверьте себя: учтите затухание — оно рассеивает часть полученной энергии и ограничивает амплитуду.
Ошибка: отождествлять резонансную частоту с собственной частотой без учёта затухания. Это приближение иногда используют для простого объяснения, но при затухании максимум может быть смещён. В задаче проверьте, указано ли затухание и требуется ли точное значение; без этих данных корректнее говорить о частоте, близкой к собственной.
Чтобы разбираться в вынужденных колебаниях, нужно знать свободные колебания, амплитуду, период, частоту и собственную частоту системы. Связь с затухающими колебаниями помогает понять, почему резонансная амплитуда конечна и от чего зависит высота максимума. Позже идея резонанса пригодится при изучении колебательных контуров, звуковых явлений и технических устройств: во всех этих случаях важны частота воздействия и отклик системы.
Чем вынужденные колебания отличаются от свободных?
Свободные колебания происходят после начального толчка за счёт энергии, запасённой системой, и постепенно затухают. Вынужденные колебания поддерживаются внешней периодической силой, которая передаёт системе энергию.
Почему установившиеся вынужденные колебания имеют частоту внешней силы?
Внешняя сила повторяется через равные промежутки времени и регулярно задаёт системе ритм. После затухания переходного процесса система совершает установившиеся колебания в такт этой силе.
При каком условии возникает резонанс?
Резонанс возникает, когда частота внешнего воздействия близка к собственной частоте системы. Тогда передача энергии особенно эффективна и амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума.
Почему при резонансе амплитуда не становится бесконечной?
В реальных системах действует затухание: часть энергии рассеивается, например, из-за трения. Поэтому приток энергии от внешней силы уравновешивается потерями, и амплитуда остаётся конечной.
Всегда ли резонанс вреден?
Нет, резонанс используют, когда нужно усилить колебания или выделить нужную частоту, например в музыкальных инструментах. Он опасен, если чрезмерные колебания могут повредить сооружение или механизм.
§ 26. Вынужденные колебания. Резонанс
