"Физика", Пурышева Н.С., Важеевская Н.Е., Чаругин В.М.
Математический маятник — модель небольшого тела на лёгкой нити, которое колеблется под действием силы тяжести. По длине маятника и времени его колебаний можно определить ускорение свободного падения g. Для этого измеряют время нескольких полных колебаний, находят период одного колебания и подставляют его вместе с длиной в формулу g = 4π²l/T². Небольшое отклонение и аккуратные измерения помогают получить более точный результат.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Математический маятник — модель, в которой небольшое тело подвешено на лёгкой нерастяжимой нити. Её используют, когда размер тела намного меньше длины нити, а нить почти не растягивается и её массой можно пренебречь. Такая модель помогает описать колебания простыми формулами.
Период колебаний — время одного полного колебания, то есть возвращения тела в исходное положение с тем же направлением движения. Его обозначают T и измеряют в секундах (с). Период нужен, чтобы связать наблюдаемое движение маятника с его длиной и ускорением свободного падения.
Длина маятника — расстояние от точки подвеса до центра тела; обозначение — l. Её измеряют линейкой или рулеткой вдоль нити, учитывая расстояние от точки крепления до середины тела. Эта величина влияет на период, поэтому измерять только видимую часть нити недостаточно.
Ускорение свободного падения — ускорение, которое приобретает тело при свободном падении под действием притяжения Земли. Его обозначают g и выражают в метрах на секунду в квадрате (м/с²). В опыте это значение находят по измеренным длине и периоду маятника.
Если немного отклонить маятник от положения равновесия и отпустить, сила тяжести стремится вернуть его вниз. По инерции тело проходит положение равновесия и поднимается с другой стороны, после чего движение повторяется. Поэтому при малых отклонениях возникают периодические колебания — движения, которые повторяются через равные промежутки времени. Небольшую амплитуду выбирают, чтобы используемая формула периода оставалась достаточно точной.
Период математического маятника определяется длиной и ускорением свободного падения: T = 2π√(l/g). Чем длиннее нить, тем больше период: телу требуется больше времени, чтобы пройти более длинную дугу. Чем больше g, тем быстрее сила тяжести возвращает тело к равновесию и тем меньше период. Масса тела в этой формуле не участвует.
Для лабораторной работы формулу периода преобразуют так, чтобы выразить искомое ускорение. Сначала делят обе части равенства на 2π, затем возводят их в квадрат: T² = 4π²l/g. После преобразования получают рабочую формулу g = 4π²l/T². В неё подставляют длину в метрах, а период — в секундах, тогда результат получается в м/с².
Одно колебание длится недолго, поэтому на запуск и остановку секундомера приходится заметная доля погрешности. Если засечь время N полных колебаний, ошибка реакции остаётся примерно той же, но делится на N при вычислении периода. Поэтому находят T = t/N, где t — измеренное общее время. Чем больше колебаний посчитано без сбоя, тем надёжнее обычно результат.
Перед опытом закрепляют нить, измеряют длину от точки подвеса до центра тела и переводят её в метры. Маятник отклоняют на небольшой угол, отпускают без толчка и измеряют время нескольких полных циклов; измерение полезно повторить. Затем делят время на число циклов, рассчитывают g и сравнивают результат с табличным значением около 9,8 м/с². Разницу объясняют погрешностями и тем, что реальная установка не идеально совпадает с моделью.
В таблице собраны величины, которые нужно измерить непосредственно, и те, которые получают расчётом. Перед подстановкой проверьте, что длина выражена в метрах, а время — в секундах. Число колебаний записывают без единицы измерения.
| Величина | Обозначение | Как получить | Единица измерения |
|---|---|---|---|
| Длина маятника | l | Измерить от точки подвеса до центра тела | м |
| Число полных колебаний | N | Посчитать полные циклы движения | без единицы |
| Время выбранного числа колебаний | t | Измерить секундомером | с |
| Период одного колебания | T | Вычислить: T = t/N | с |
| Ускорение свободного падения | g | Вычислить: g = 4π²l/T² | м/с² |
Задача 1. Маятник совершил 15 полных колебаний за 27 с. Нужно найти период одного колебания. Известно общее время, поэтому сначала важно отделить время одного цикла от времени всей серии. Для этого общее время делят на число колебаний.
Ответ: период равен 1,8 с. Проверка проста: за 15 одинаковых циклов по 1,8 с маятник должен затратить 27 с.
Задача 2. Длина маятника равна 0,80 м, а период — 1,8 с. Найдём ускорение свободного падения по формуле g = 4π²l/T². Длина и период уже даны в единицах СИ, поэтому их можно сразу подставлять.
Ответ: g ≈ 7,8 м/с². Значение заметно меньше табличного, поэтому в реальном опыте стоит перепроверить измерения времени и длины, а также подсчёт циклов.
Задача 3. При длине 0,80 м время 20 колебаний измерили дважды: 36,0 с и 36,4 с. Сначала усредним повторные измерения общего времени, затем найдём период и ускорение. В обоих измерениях число циклов одинаковое, поэтому среднее время можно сразу разделить на 20.
Ответ: средний период равен 1,81 с, ускорение — примерно 9,6 м/с². Усреднять нужно повторные измерения одной и той же величины, выраженные в одинаковых единицах.
Если принять длину нити до верхнего края тела за длину маятника, получится заниженное значение l. Так ошибаются, потому что центр тела не виден как отдельная отметка при обычном измерении. Проверьте себя: конечная точка измерения должна совпадать с серединой тела, а не с его краем.
Подстановка общего времени нескольких колебаний вместо периода завышает используемое T и даёт неверное g. Эта ошибка возникает, когда забывают, что формула содержит время одного полного цикла. Перед расчётом проверьте, разделили ли вы t на число колебаний N.
Движение от одного крайнего положения до другого — только половина полного колебания. При таком подсчёте число циклов получается завышенным, а вычисленный период — заниженным. Следите за тем, чтобы маятник вернулся к исходному крайнему положению, прежде чем засчитать цикл.
Большое отклонение или толчок при отпускании нарушают условия опыта для малых колебаний. Так происходит, когда стараются раскачать маятник сильнее или случайно сообщают ему дополнительную скорость. Чтобы проверить себя, отпускайте его без толчка и используйте небольшое отклонение от вертикали.
Для выполнения опыта нужно понимать, что такое периодическое движение и период колебаний, а также уметь измерять длину и время. Эти навыки позволяют перейти от наблюдений за маятником к численному расчёту. Без правильного определения полного цикла период найти нельзя.
Опыт связывает колебательное движение со свободным падением: через период и длину маятника определяется g. Так формулы механики помогают находить физическую величину косвенным способом, не наблюдая само падение тела. Сравнение с табличным значением показывает, насколько точным получилось измерение.
Почему время измеряют сразу для нескольких колебаний?
Время одного колебания короткое, поэтому погрешность реакции при запуске и остановке секундомера заметно влияет на результат. Если измерить несколько колебаний, а затем разделить общее время на их число, период получится точнее.
От какой точки до какой измерять длину маятника?
Длину измеряют от точки подвеса до центра тела, которое колеблется. Измерение только до верхнего края тела даст слишком маленькую длину и исказит расчёт ускорения.
Что считать одним полным колебанием?
Полное колебание — это движение маятника от одного крайнего положения до другого и обратно к исходному крайнему положению. Проход от одного края до противоположного составляет только половину колебания.
Почему маятник нужно отклонять на небольшой угол?
Формула периода математического маятника верна для малых отклонений. При большом угле период начинает заметнее отличаться от значения, предсказываемого этой формулой.
Почему полученное значение g может отличаться от табличного?
На результат влияют погрешности измерения длины и времени, неточный подсчёт колебаний и сопротивление воздуха. Также реальный маятник лишь приближённо соответствует математической модели.
Лабораторная работа № 3. Измерение ускорения свободного падения с помощью математического маятника
