§ 38. Вынужденные колебания. Резонанс

Определения и обозначения

Вынужденные колебания — колебания системы под действием внешней периодической силы. Система получает энергию извне, поэтому её движение может продолжаться даже при сопротивлении. Это понятие используют, когда нужно описать, как периодическое воздействие меняет движение тела или конструкции.

Вынуждающая сила — внешняя периодическая сила, поддерживающая вынужденные колебания. Её амплитуду обычно обозначают F₀, а циклическую частоту — ω; например, силу можно записать как F = F₀ cos(ωt). Эти обозначения позволяют связать свойства воздействия с движением системы.

Амплитуда установившихся колебаний — максимальное отклонение системы после исчезновения переходного процесса, то есть начальной части движения, в которой свободные колебания ещё заметны. Амплитуду обозначают A. Она показывает, насколько сильно система отклоняется в устойчивом режиме под действием внешней силы.

Резонанс — резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты внешней силы к собственной частоте системы. Собственная частота определяется параметрами самой системы, а не внешним воздействием. Понятие резонанса нужно, чтобы находить условия максимального отклика и оценивать его полезность или опасность.

Как это устроено

Периодическая сила совершает работу над системой: в одни моменты она ускоряет тело в направлении движения и передаёт энергию, в другие может тормозить его. Если в системе есть сопротивление, часть энергии переходит, например, во внутреннюю энергию и рассеивается. Вынуждающая сила восполняет эти потери, поэтому при подходящем воздействии движение поддерживается. Сколько энергии поступит за период, зависит от того, как меняются во времени сила и скорость.

В начале движения одновременно проявляются свободные колебания, заданные начальными условиями, и движение под действием внешней силы. Свободная составляющая постепенно затухает из-за сопротивления — именно поэтому её называют переходной. Остаётся установившаяся составляющая, частота которой совпадает с частотой внешней силы: источник задаёт ритм движения. Следовательно, после переходного процесса частота не обязана совпадать с собственной частотой системы.

Для пружинного маятника установившаяся амплитуда равна A = F₀/√((k − mω²)² + (bω)²), где m — масса, k — жёсткость пружины, b — коэффициент сопротивления. При малой частоте система успевает следовать за силой, и амплитуда примерно равна F₀/k. При росте частоты инерция массы всё сильнее мешает движению, а сопротивление тоже ограничивает отклик. Поэтому амплитуда определяется не одним параметром, а совместным действием частоты, массы, жёсткости и сопротивления.

Резонанс возникает, когда внешняя сила действует в такой фазе, что особенно эффективно увеличивает энергию колебаний. Вблизи собственной частоты небольшое воздействие может накапливать энергию от периода к периоду, и амплитуда становится большой. В идеальной системе без сопротивления она при точном совпадении частот не имела бы конечного установившегося значения. В реальной системе сопротивление ограничивает рост: установившаяся амплитуда возникает, когда поступление энергии за период уравновешивает её потери.

Сопротивление меняет форму зависимости амплитуды от частоты — резонансной кривой. Чем больше сопротивление, тем ниже её максимум: энергия быстрее рассеивается и не успевает накапливаться. Пик также становится шире и менее sharp выраженным, то есть система заметно откликается в более широком диапазоне частот, но уже без столь резкого максимума. При наличии сопротивления частота максимума амплитуды может быть немного ниже собственной частоты.

Свободные и вынужденные колебания при разных режимах

Сравнивайте столбцы, чтобы понять, кто задаёт частоту и откуда поступает энергия. Особенно полезно сопоставить амплитуду и роль сопротивления: так видно, почему при резонансе отклик велик, но не бесконечен. Строка о фазе напоминает, что при свободных колебаниях внешней силы, относительно которой её можно определить, нет.

Разбор задач

Задача 1. Груз массой 1 кг прикреплён к пружине жёсткостью 100 Н/м. На него действует сила F = 10 cos(8t) Н, коэффициент сопротивления равен 2 Н·с/м. Найти амплитуду установившихся колебаний и фазовый сдвиг. Нужно сопоставить частоту воздействия с параметрами системы и учесть сопротивление.

1. Из записи силы считываем F₀ = 10 Н и ω = 8 рад/с; m = 1 кг, k = 100 Н/м, b = 2 Н·с/м.
2. Подставляем данные в формулу амплитуды: A = 10/√((100 − 1·8²)² + (2·8)²) = 10/√(36² + 16²) ≈ 0,254 м.
3. Фазовый сдвиг задаётся tg δ = bω/(k − mω²) = 16/36. Поэтому δ ≈ 0,42 рад, или примерно 24°. Так как знаменатель положителен, сила опережает смещение на этот угол.

Ответ: амплитуда около 0,254 м, фазовый сдвиг около 0,42 рад (24°).

Задача 2. Для системы m = 1 кг, k = 100 Н/м, b = 4 Н·с/м найти частоту максимальной амплитуды и амплитуду при F₀ = 2 Н. Поскольку сопротивление задано, максимум не следует автоматически считать совпадающим с собственной частотой. Для амплитудного максимума используем выражение для резонансной частоты с учётом b.

1. Собственная частота ω₀ = √(k/m) = 10 рад/с. Частота максимума равна ωрез = √(ω₀² − b²/(2m²)) = √(100 − 8) ≈ 9,59 рад/с.
2. При этой частоте амплитуда равна A = F₀/[b√(ω₀² − b²/(4m²))]. Подстановка даёт A = 2/[4√(100 − 4)] ≈ 0,051 м.
3. Проверяем смысл результата: найденная частота чуть ниже собственной, а сопротивление ограничило амплитуду примерно пятью сантиметрами.

Ответ: ωрез ≈ 9,59 рад/с; A ≈ 0,051 м.

Задача 3. Мост моделируется колебательной системой массой 1000 кг и жёсткостью 40 000 Н/м. Периодическая сила амплитудой 200 Н действует с собственной частотой системы. Найти коэффициент сопротивления, необходимый, чтобы амплитуда не превышала 1 см. Это резонансный режим, поэтому сопротивление нельзя отбросить.

1. Собственная частота ω₀ = √(k/m) = √40 ≈ 6,32 рад/с. В условии частота силы равна этой частоте.
2. Подставляем ω = ω₀ в формулу амплитуды. Тогда k − mω₀² = 0, поэтому A = F₀/(bω₀).
3. Требование A ≤ 0,01 м означает F₀/(bω₀) ≤ 0,01. Отсюда b ≥ 200/(0,01·6,32) ≈ 3,16·10³ Н·с/м.

Ответ: коэффициент сопротивления должен быть не меньше примерно 3,2·10³ Н·с/м.

Типичные ошибки

• Неверно считать, что частота вынужденных колебаний всегда равна собственной частоте. Так происходит из-за смешения свободного движения с установившимся; проверьте, какая именно частота дана в силе, — после переходного процесса колебания следуют за внешним воздействием.

• Не всякий резонанс требует точного равенства внешней и собственной частот. Такое упрощение подходит лишь приближённо при слабом сопротивлении; проверяйте, требуется ли частота максимальной амплитуды с учётом b.

• Игнорирование сопротивления приводит к завышенной резонансной амплитуде, а в идеальной модели — к отсутствию конечного значения. Сопротивление рассеивает энергию и ограничивает отклик; убедитесь, что член bω включён в знаменатель формулы.

• Формула амплитуды свободных колебаний не описывает отклик на периодическую силу. Ошибка возникает, когда забывают, что здесь важны F₀ и ω; проверьте, что в расчёте использована формула вынужденных колебаний и единицы всех величин согласованы.

Связь с другими темами

Для понимания вынужденных колебаний понадобятся уравнение гармонического движения, собственная частота, энергия колебательной системы и представление о силе сопротивления. Дальше эти идеи встречаются при изучении механических волн, акустики и электромагнитных колебаний в цепях переменного тока. Резонанс объясняет усиление звука в музыкальных инструментах и настройку радиоприёмников, а также помогает разбираться в виброизоляции и устойчивости инженерных конструкций.

Что запомнить

• Вынужденные колебания поддерживаются внешней периодической силой.
• В установившемся режиме частота колебаний равна частоте внешней силы.
• Амплитуда зависит от частоты внешней силы, параметров системы и сопротивления.
• Резонанс возникает при приближении частоты внешней силы к собственной частоте системы.
• Сопротивление уменьшает резонансную амплитуду.
• Резонанс может быть полезным или опасным в зависимости от условий применения.