§ 37. Колебательная система под действием внешних сил, не зависящих от времени

Определения и обозначения

Постоянная внешняя сила — сила, не меняющаяся со временем и изменяющая условие равновесия системы. Её обозначим F₀, например силу можно приложить к грузу, соединённому с пружиной. Это понятие нужно, чтобы отличать постоянное воздействие от периодической силы, способной вызвать резонанс.

Смещённое положение равновесия — положение, в котором упругая сила уравновешивает постоянную внешнюю силу. Если сила направлена вправо, новое равновесие находится правее исходного. От этой точки удобнее отсчитывать колебания, потому что результирующая сила в ней равна нулю.

Статическая деформация — постоянное смещение тела, возникающее под действием внешней силы после прекращения колебаний. Для пружины это расстояние x₀ между старым и новым положениями равновесия. Статическая деформация задаёт положение равновесия, но сама по себе не является амплитудой.

Колебания около нового равновесия — движение системы, описываемое той же моделью гармонических колебаний, но отсчитываемое от смещённого положения. Для этого вводят отклонение y = x − x₀. Такой переход отделяет постоянное смещение от собственно колебательного движения.

Как это устроено

В новом равновесии груз покоится, поэтому сумма сил равна нулю. Упругая сила пружины по модулю равна kx₀, а внешняя сила имеет величину F₀, значит, kx₀ = F₀ и x₀ = F₀/k. Чем больше сила, тем дальше смещается равновесие, а чем жёстче пружина, тем меньше это смещение.

Если x отсчитывается от старого равновесия, на груз одновременно действуют сила пружины −kx и постоянная сила F₀. По второму закону Ньютона m·x'' = −kx + F₀. Постоянное слагаемое появляется именно потому, что внешняя сила присутствует всё время и не зависит от координаты и времени.

Подставим x = y + x₀, где x₀ = F₀/k. Тогда m·y'' = −k(y + x₀) + F₀ = −ky, поскольку −kx₀ + F₀ = 0. Получается обычное уравнение гармонических колебаний y'' + ω²y = 0, где ω = √(k/m).

В полученном уравнении не изменились масса и жёсткость, поэтому не изменились угловая частота ω и период T = 2π√(m/k). Постоянная сила только переносит минимум потенциальной энергии и точку равновесия. При начальных xᵢ и vᵢ амплитуда определяется формулой A = √((xᵢ − x₀)² + (vᵢ/ω)²), а постоянная сила не вызывает резонансной раскачки, потому что не передаёт энергию периодически.

Потенциальная энергия системы при постоянной силе имеет вид U = ½kx² − F₀x. Её минимум находится при x = F₀/k, то есть в новом равновесии. Введённая координата y показывает расстояние до этого минимума.

Колебательная система без внешней силы и под действием постоянной силы

Сначала найдите положение равновесия, затем выбирайте координату, относительно которой описывается движение. Если сила постоянна, сравнение частоты и периода показывает: они остаются прежними, хотя формула энергии получает линейное слагаемое.

Амплитуду всегда вычисляйте через отклонение от соответствующего равновесия. Поэтому в третьем столбце вместо xᵢ стоит xᵢ − x₀.

Разбор задач

Задача 1. Смещение равновесия

К пружине жёсткостью k прикрепили груз массой m и приложили постоянную горизонтальную силу F₀. Требуется найти смещение нового положения равновесия. Направим ось x в сторону действия внешней силы и обозначим смещение равновесия через x₀.

1. В равновесии ускорение груза равно нулю, поэтому упругая сила по модулю должна равняться внешней силе.
2. По закону Гука упругая сила равна kx₀, значит, kx₀ = F₀.
3. Разделив обе части на k, получаем x₀ = F₀/k; масса в этот результат не входит, потому что речь идёт о равновесии, а не о времени движения.

Ответ: новое положение равновесия смещено на x₀ = F₀/k в сторону действия силы. Это смещение называют статической деформацией. Чем больше k, тем меньше перенос равновесия.

Задача 2. Период и максимальная скорость

Груз на вертикальной пружине после установления постоянной деформации отклонили от нового равновесия на A и отпустили без начальной скорости. Нужно найти период и максимальную скорость. Силу тяжести учитывать через положение равновесия, а не добавлять её к колебательной части движения.

1. Введём y как отклонение от нового равновесия; тогда y'' + (k/m)y = 0, поэтому ω = √(k/m).
2. Период свободных колебаний равен T = 2π/ω = 2π√(m/k).
3. Скорость имеет максимальный модуль при прохождении равновесия, где вся колебательная энергия кинетическая, поэтому vₘₐₓ = ωA = A√(k/m).

Ответ: T = 2π√(m/k), vₘₐₓ = A√(k/m). Вертикальное положение и сила тяжести влияют на статическую деформацию. Период и максимальная скорость при заданной амплитуде определяются параметрами m, k и A.

Задача 3. Закон движения, амплитуда и моменты прохождения равновесия

Груз движется под действием постоянной силы F₀, причём известны начальные координата xᵢ и скорость vᵢ. Требуется найти закон движения, амплитуду и моменты прохождения нового равновесия. Обозначим ω = √(k/m) и сначала вычислим x₀ = F₀/k.

1. Переходим к y = x − x₀: начальное отклонение равно yᵢ = xᵢ − x₀, а начальная скорость остаётся vᵢ.
2. Закон движения можно записать как y = yᵢ cos ωt + (vᵢ/ω) sin ωt, поэтому x = x₀ + yᵢ cos ωt + (vᵢ/ω) sin ωt.
3. Амплитуда равна A = √(yᵢ² + (vᵢ/ω)²). Равновесие проходит, когда y = 0; моменты t находят из уравнения yᵢ cos ωt + (vᵢ/ω) sin ωt = 0.

Ответ: x(t) = x₀ + (xᵢ − x₀)cos ωt + (vᵢ/ω)sin ωt, где x₀ = F₀/k. Амплитуда A = √((xᵢ − x₀)² + (vᵢ/ω)²). Моменты прохождения равновесия определяются корнями уравнения (xᵢ − x₀)cos ωt + (vᵢ/ω)sin ωt = 0.

Типичные ошибки

Отсчёт от старого равновесия без постоянного слагаемого. Ошибка возникает, когда формулу свободных колебаний применяют прямо к x. Проверьте уравнение Ньютона: при координате от старого равновесия в нём обязательно есть F₀.

Изменение периода из-за постоянной силы. Так считают, потому что сила меняет положение груза. Но период задаётся m и k, поэтому сравните ω = √(k/m) до и после добавления силы.

Подстановка x вместо x − x₀ в формулу амплитуды. Начальная координата от старого равновесия не является начальным отклонением от нового. Сначала найдите x₀, затем используйте yᵢ = xᵢ − x₀.

Смешение статической деформации и амплитуды. Статическая деформация задаётся силой и жёсткостью, а амплитуда ещё зависит от начальной скорости и отклонения. Проверьте смысл величины: x₀ задаёт центр колебаний, A — расстояние до крайнего положения.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны второй закон Ньютона, закон Гука, условие равновесия и уравнение гармонических колебаний. Она помогает анализировать вертикальный пружинный маятник: сила тяжести также смещает равновесие, но не меняет период идеальной системы. Переход к координате относительно равновесия используется в дифференциальных уравнениях и при изучении вынужденных колебаний.

Что запомнить

• Постоянная внешняя сила смещает положение равновесия системы.
• Для пружины смещение равновесия определяется равенством kx₀ = F₀.
• Колебания следует рассматривать относительно нового положения равновесия.
• После замены y = x − x₀ уравнение принимает вид обычного уравнения гармонических колебаний.
• В идеальном линейном осцилляторе постоянная сила не изменяет период.
• Амплитуда определяется начальными отклонением и скоростью относительно нового равновесия.
• Постоянная сила не передаёт системе энергию периодически и не вызывает резонанс.