"Физика (углублённый уровень)", Касьянов В.А.
Свободные колебания возникают после толчка или отклонения системы, если внешняя периодическая сила больше не действует. Их движение задают инерция тела и возвращающая сила, направленная к равновесию. При силе, пропорциональной смещению, колебания становятся гармоническими: описываются синусом или косинусом, имеют постоянную амплитуду и определённую собственную частоту. Эти закономерности помогают исследовать маятники, вибрации и волновые процессы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Свободные колебания — колебания системы после начального отклонения или толчка без внешнего периодического воздействия. Например, груз отпускают на пружине, и дальше он движется сам. Это понятие позволяет отличать собственное движение системы от колебаний, поддерживаемых внешней силой.
Колебательная система — тело или совокупность тел, способная колебаться благодаря инерции и возвращающему действию сил. В неё могут входить груз и пружина или шарик на нити. Такое представление помогает выделить тела, параметры которых определяют движение.
Возвращающая сила — сила, направленная к положению равновесия и стремящаяся уменьшить отклонение системы. Для пружины при выборе оси вдоль движения это F = −kx. Знак «−» показывает, что сила направлена противоположно смещению x.
Собственная частота — частота свободных колебаний, определяемая параметрами системы. Угловую частоту обозначают ω₀, а обычную частоту — f = ω₀/(2π); период T = 1/f. По собственной частоте можно предсказать, как быстро система повторяет своё движение.
После отклонения от равновесия возвращающая сила сообщает телу ускорение к исходной точке. В равновесии тело получает наибольшую скорость, поэтому из-за инерции не останавливается, а проходит эту точку. Затем сила меняет направление, и процесс повторяется.
Для груза на пружине закон Гука даёт F = −kx. По второму закону Ньютона ma = F, а ускорение равно d²x/dt², поэтому m·d²x/dt² = −kx, или m·d²x/dt² + kx = 0. После деления на m получаем d²x/dt² + (k/m)x = 0.
Функции синуса и косинуса при двухкратном дифференцировании возвращаются к себе со знаком «−»: для x = A cos(ω₀t + φ) имеем d²x/dt² = −ω₀²x. Поэтому такая функция удовлетворяет уравнению, если ω₀² = k/m. Амплитуда A задаёт наибольшее отклонение, а фаза φ — положение системы в выбранный момент.
Начальные условия выбирают конкретное движение из множества синусоид. При t = 0 справедливы x₀ = A cos φ и v₀ = −Aω₀ sin φ, поэтому начальное отклонение и скорость определяют A и φ. Для пружинного маятника ω₀ = √(k/m), T = 2π√(m/k), а для математического маятника при малых углах ω₀ = √(g/l), T = 2π√(l/g).
В крайних положениях скорость равна нулю, поэтому энергия сосредоточена главным образом в потенциальной форме. При движении к равновесию она превращается в кинетическую, а после прохождения равновесия снова переходит в потенциальную. В идеальной системе без трения сумма этих энергий постоянна, поэтому амплитуда не уменьшается.
| Свойство | Пружинный маятник | Математический маятник | Общее для свободных гармонических колебаний |
|---|---|---|---|
| Положение равновесия | Состояние, в котором сила упругости равна нулю | Вертикальное положение нити | Точка, относительно которой отсчитывается смещение |
| Возвращающая сила или её составляющая | Сила упругости F = −kx | При малых углах Fτ ≈ −mg·x/l | Направлена противоположно смещению |
| Собственная угловая частота | ω₀ = √(k/m) | ω₀ = √(g/l) | Определяется параметрами системы |
| Период | T = 2π√(m/k) | T = 2π√(l/g) | Не зависит от амплитуды в идеальном линейном приближении |
| Уравнение движения | m·d²x/dt² + kx = 0 | d²x/dt² + (g/l)x = 0 | Ускорение пропорционально смещению и противоположно ему |
| Сохранение энергии | Переход энергии упругой деформации в кинетическую | Переход потенциальной энергии тяжести в кинетическую | Полная механическая энергия постоянна без потерь |
Сначала определите вид маятника и найдите его параметры: m и k либо l и g. Затем выберите строку с нужной величиной, не смешивая угловую частоту ω₀ с частотой f. Последний столбец показывает свойства, общие для обеих систем.
Задача 1. Груз массой 0,5 кг прикреплён к пружине жёсткостью 200 Н/м. Найдём период свободных колебаний.
Ответ: T ≈ 0,31 с.
Задача 2. Дано x = 0,04 cos(5t + π/3) м. Сравнение с x = A cos(ωt + φ) сразу даёт A = 0,04 м, ω = 5 рад/с и φ = π/3. Далее используем производные: v = −Aω sin(ωt + φ), а a = −Aω² cos(ωt + φ).
Ответ: A = 0,04 м, φ = π/3, T ≈ 1,26 с, vmax = 0,20 м/с, amax = 1,0 м/с².
Задача 3. Груз отклонили на 0,1 м и отпустили без начальной скорости. В момент t = 0 он находится в крайнем положении, поэтому удобно записать x = A cos(ω₀t), где A = 0,1 м. До равновесия тело проходит четверть периода: t = T/4 = π/(2ω₀). В равновесии вся начальная потенциальная энергия перешла в кинетическую, поэтому ½kA² = ½mv² и v = A√(k/m) = Aω₀.
Ответ: t = T/4 = π/(2ω₀), скорость по модулю v = Aω₀ = 0,1ω₀ м/с; направление скорости — к положению равновесия.
Считать свободными любые колебания — ошибка: при внешней периодической силе колебания становятся вынужденными. Так путают наличие начального толчка с постоянным поддерживающим воздействием; проверьте, действует ли сила периодически после начала движения.
Записывать возвращающую силу как F = kx без минуса неверно, потому что она направлена против смещения. Ошибка возникает при работе только с модулями; проверьте направление силы на положительной и отрицательной полуосях.
Формула T = 2π√(l/g) при больших углах неприменима: она основана на приближении малых колебаний. Если отклонение заметное, нельзя считать sin α приблизительно равным α.
Нельзя смешивать собственную частоту и частоту внешнего воздействия, а также f и ω. Проверка проста: между ними должно быть соотношение ω = 2πf, а у свободной системы частота определяется её параметрами.
Для вывода уравнения колебаний нужны второй закон Ньютона, закон Гука и понятия кинетической и потенциальной энергии. Математическое описание опирается на производную и решение простейшего дифференциального уравнения. Эти знания затем используются при изучении затухающих и вынужденных колебаний, резонанса, волн и колебательных электрических контуров.
Почему тело продолжает двигаться после прохождения положения равновесия?
В положении равновесия возвращающая сила становится равной нулю, но скорость тела максимальна. По инерции тело продолжает движение и отклоняется в противоположную сторону.
Чем свободные колебания отличаются от вынужденных?
Свободные колебания происходят после начального воздействия без внешней периодической силы. Вынужденные поддерживаются силой, которая действует периодически и задаёт системе свою частоту.
Почему период пружинного маятника не зависит от амплитуды?
При законе Гука возвращающая сила пропорциональна смещению при любой небольшой амплитуде. Поэтому отношение силы к смещению постоянно, а период определяется только массой и жёсткостью пружины.
Когда можно применять формулу периода математического маятника?
Формулу T = 2π√(l/g) применяют при малых углах отклонения, когда sin α можно заменить α, выраженным в радианах. При больших углах движение уже не описывается этой простой формулой.
Как по начальному отклонению и начальной скорости определить закон колебаний?
Записывают x = A cos(ω₀t + φ), затем подставляют начальные значения x(0) и v(0). Из равенств x₀ = A cos φ и v₀ = −Aω₀ sin φ находят амплитуду и фазу.
§ 36. Динамика свободных колебаний
