"Физика (базовый уровень)", Касьянов В.А.
Свободные колебания возникают, когда систему выводят из равновесия, а затем предоставляют самой себе: периодического внешнего воздействия нет, но возвращающая сила продолжает менять движение. Запасённая энергия переходит из потенциальной в кинетическую и обратно, поэтому тело проходит положение равновесия и отклоняется в другую сторону. Если сила пропорциональна смещению и направлена противоположно ему, колебания гармонические. Их период и собственная частота определяются свойствами системы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Свободные колебания — движение системы после выведения из положения равновесия без периодического внешнего воздействия. Иными словами, систему отклонили или толкнули, а затем перестали регулярно воздействовать на неё. Это понятие помогает отличить собственное движение системы от колебаний, которые поддерживаются внешней силой.
Возвращающая сила — сила, стремящаяся вернуть систему в положение равновесия. При отклонении она направлена против смещения, поэтому ускорение возникает к равновесию. По направлению этой силы можно понять, как система начинает возвращаться после отклонения.
Гармонические колебания — колебания, при которых смещение меняется со временем по закону синуса или косинуса: например, x(t) = A cos(ωt + φ). Здесь A — амплитуда, то есть наибольшее по модулю смещение, ω — циклическая частота, φ — начальная фаза. Такая запись позволяет находить смещение в любой момент времени.
Собственная частота — частота свободных колебаний системы, определяемая её свойствами. Она показывает, сколько колебаний система совершает за единицу времени, если её не заставляют двигаться периодической внешней силой. Для разных систем собственная частота связана с разными параметрами, например с массой и жёсткостью пружины.
Чтобы запустить колебания, системе нужно сообщить энергию: например, оттянуть груз на пружине или отклонить маятник. В крайнем положении энергия запасена преимущественно как потенциальная, а при движении к равновесию она превращается в кинетическую. В точке равновесия скорость обычно наибольшая, поэтому по инерции тело не останавливается и движется дальше.
Когда тело отклонено, возвращающая сила сообщает ему ускорение к положению равновесия. По мере приближения к нему скорость растёт, но в самой точке равновесия сила может стать равной нулю. Инерция сохраняет движение, поэтому тело пролетает эту точку; затем сила меняет направление и тормозит его до остановки на противоположной стороне.
Рассмотрим груз массы m на горизонтальной пружине. Если сместить его на расстояние x от равновесия, закон Гука даёт силу упругости F = −kx, где k — жёсткость пружины, а знак «минус» показывает, что сила направлена против смещения. По второму закону Ньютона mа = −kx, или а = −(k/m)x. Это уравнение движения связывает ускорение груза с его координатой.
В уравнении а = −(k/m)x ускорение пропорционально смещению и имеет противоположное направление. Именно такое соотношение приводит к гармоническому изменению координаты: x(t) = A cos(ωt + φ), где ω² = k/m. Поэтому пружинный маятник в идеальной модели колеблется гармонически; его период равен T = 2π√(m/k), а частота f = 1/T.
У математического маятника возвращающее действие создаёт составляющая силы тяжести вдоль дуги. При небольших углах отклонения она приблизительно пропорциональна смещению, и период становится T = 2π√(l/g), где l — длина нити, g — ускорение свободного падения. Следовательно, период пружинного маятника зависит от m и k, а математического — от l и g. В идеальной гармонической модели амплитуда в эти формулы не входит, поэтому на период не влияет.
На графике смещение и ускорение меняются согласованно по времени, но имеют противоположные знаки. Например, когда x положительно, ускорение отрицательно, а при отрицательном смещении ускорение положительно. Это наглядно показывает связь a = −ω²x.
| Характеристика | Пружинный маятник | Математический маятник |
|---|---|---|
| Причина возвращения к равновесию | Деформация пружины | Составляющая силы тяжести вдоль траектории |
| Возвращающая сила | F = −kx | Сила тяжести вдоль дуги; при малых отклонениях пропорциональна смещению |
| Уравнение движения | ma = −kx | При малых колебаниях a = −(g/l)x |
| Период свободных колебаний | T = 2π√(m/k) | T = 2π√(l/g) |
| Зависимость периода от параметров системы | От массы груза m и жёсткости пружины k | От длины нити l и ускорения свободного падения g |
Сначала определите, какая система рассматривается, и найдите в соответствующем столбце причину возвращения и формулу периода. Затем подставляйте параметры именно этой системы: массу и жёсткость для пружины, длину и g для маятника. Уравнение движения также подсказывает, куда направлено ускорение.
Условие. Груз на пружине отклонили от положения равновесия и отпустили. Нужно определить действующие силы и найти возвращающую. Рассмотрим груз на горизонтальной пружине, чтобы отделить силы, связанные с опорой, от силы, вызывающей колебания.
Ответ. На груз действуют сила тяжести, реакция опоры и сила упругости; возвращающая сила — сила упругости пружины.
Условие. Груз массой 0,25 кг прикреплён к пружине жёсткостью 100 Н/м. Найдём период и частоту свободных колебаний. В расчёте массу оставляем в килограммах, а жёсткость — в ньютонах на метр, то есть используем единицы СИ.
Ответ. Период T ≈ 0,314 с, частота f ≈ 3,18 Гц.
Условие. Пусть груз отклонили на 4 см от равновесия и отпустили без начальной скорости; период равен 2 с. Определим закон координаты, а затем координату и ускорение через 0,5 с. Выберем положительное направление в сторону начального отклонения.
Ответ. x(t) = 0,04 cos(πt) м; при t = 0,5 с координата и ускорение равны нулю. Если начальные условия другие, фазу закона движения нужно выбрать заново.
Ошибка: считать, что для свободных колебаний вообще не нужны силы. Так думают, потому что в определении говорится об отсутствии внешнего периодического воздействия. Но движение поддерживает возвращающая сила, а «свободными» колебания называют из-за отсутствия именно периодического внешнего воздействия. Проверьте себя: назовите силу, которая действует на систему при отклонении и возвращает её к равновесию.
Ошибка: направлять ускорение в сторону смещения. Часто это происходит из-за того, что смещение принимают за направление движения. Однако возвращающая сила направлена к равновесию, и по второму закону Ньютона ускорение имеет то же направление. Для проверки запишите a = −ω²x: знак ускорения противоположен знаку смещения.
Ошибка: подставлять массу или жёсткость в неверное место при расчёте периода. Причина — перестановка величин под корнем или путаница между периодом и частотой. Для пружинного маятника используйте T = 2π√(m/k), а затем проверьте, что m указана в килограммах, k — в Н/м, а результат периода — в секундах.
Ошибка: считать, что амплитуда меняет период идеального пружинного маятника. Такое предположение может возникнуть из-за того, что большое отклонение выглядит как более длинный путь. Но в гармонической модели период задают масса и жёсткость, а A в формуле T = 2π√(m/k) нет. Проверьте зависимость по формуле; отдельно помните, что для математического маятника формула с независимостью от амплитуды справедлива при малых отклонениях.
Чтобы разбирать свободные колебания, нужны второй закон Ньютона и закон Гука: первый связывает силу с ускорением, второй описывает силу пружины. Понятия равновесия, силы и ускорения помогают определить направления движения и возвращающего действия. Связь потенциальной и кинетической энергии объясняет, почему скорость меняется, хотя система не получает периодических толчков извне. Эти знания станут основой для изучения затухающих и вынужденных колебаний и резонанса.
Почему после толчка тело продолжает колебаться, если его больше не толкают?
Толчок сообщает телу начальную скорость или отклоняет его от равновесия, а затем движение поддерживают инерция и возвращающая сила. Энергия переходит между кинетической и потенциальной, поэтому система проходит равновесие и движется к противоположному отклонению.
Что именно называют свободными колебаниями?
Это колебания системы после выведения из положения равновесия, если на неё не действует периодическая внешняя сила. Внутренние силы системы при этом сохраняются и обеспечивают движение.
Почему возвращающая сила направлена к положению равновесия?
При отклонении система оказывается в положении, из которого её сила или момент силы стремится вернуть. Поэтому возвращающая сила направлена против смещения, а ускорение направлено к равновесию.
От чего зависит период колебаний пружинного маятника?
Период определяется массой груза m и жёсткостью пружины k: T = 2π√(m/k). Чем больше масса, тем дольше колебание; чем жёстче пружина, тем оно быстрее.
Влияет ли амплитуда на период свободных колебаний?
Для идеального пружинного маятника и математического маятника при малых отклонениях период от амплитуды не зависит. Это следствие приближённой гармонической модели; при больших углах математического маятника период может изменяться.
§ 31. Динамика свободных колебаний
