"Физика (базовый уровень)", Касьянов В.А.
Гравитационное поле Земли меняет скорость и направление движения тел: брошенный предмет падает, а спутник движется по орбите. Вблизи поверхности планеты поле можно считать однородным, поэтому ускорение свободного падения постоянно и применимы формулы равноускоренного движения. Горизонтальное и вертикальное движения удобно изучать отдельно. Эти идеи помогают объяснить траектории брошенных тел, движение спутников и способы вычисления первой и второй космических скоростей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Гравитационное поле — поле, посредством которого тела притягиваются друг к другу. Оно объясняет, почему Земля удерживает предметы у своей поверхности и почему планеты воздействуют на спутники. На тело в поле Земли действует сила тяжести, направленная к центру планеты.
Напряжённость гравитационного поля — векторная величина, равная отношению силы, действующей на пробное тело, к его массе: g⃗ = F⃗/m. Она показывает, с какой силой поле действует на единицу массы и в какую сторону направлено воздействие. У поверхности Земли модуль напряжённости равен ускорению свободного падения g.
Первая космическая скорость — минимальная скорость, необходимая телу для движения по круговой орбите около планеты. Если скорость меньше, тело не удержится на такой орбите; для расчёта у поверхности используют радиус планеты и ускорение свободного падения. Это понятие помогает оценить условия запуска спутника.
Вторая космическая скорость — минимальная скорость, при которой тело может преодолеть притяжение планеты и удалиться от неё. В отличие от первой скорости, она нужна не для обращения вокруг планеты, а для ухода из области её притяжения. Для Земли и других планет её значение зависит от массы и размера небесного тела.
На небольшом участке около поверхности Земли направление к центру планеты меняется очень мало, поэтому поле можно считать однородным. Значит, сила тяжести на тело данной массы практически постоянна, а по второму закону Ньютона ускорение также постоянно и равно g по модулю. Так движение можно описывать уравнениями равноускоренного движения, не учитывая заметного изменения поля с высотой.
При горизонтальном броске начальная скорость направлена горизонтально, а сила тяжести — вертикально. Поэтому горизонтального ускорения нет, тогда как вертикальная скорость постепенно растёт вниз; обе составляющие одновременно задают положение тела. Если ось x направить горизонтально, а ось y — вниз, то x = v₀t и y = gt²/2; исключая время, получаем y = gx²/(2v₀²), то есть уравнение параболы.
При броске под углом к горизонту начальную скорость раскладывают на составляющие: vₓ = v₀ cos α и vᵧ₀ = v₀ sin α. Сила тяжести не имеет горизонтальной составляющей, поэтому vₓ остаётся постоянной, а вертикальная скорость меняется: при оси вверх vᵧ = vᵧ₀ − gt. Тело сначала поднимается, вертикальная скорость уменьшается до нуля, затем оно опускается; независимость уравнений по осям объясняет форму траектории.
Спутник не перестаёт испытывать притяжение планеты: именно эта сила искривляет его путь. При движении по кругу скорость направлена по касательной, а ускорение — к центру орбиты; оно меняет направление скорости и служит центростремительным. Спутник всё время падает к планете, но его боковая скорость позволяет ему огибать её, поэтому он не достигает поверхности.
Для круговой орбиты силу тяготения приравнивают к центростремительной силе: GMm/R² = mv²/R. После сокращения массы спутника и преобразования получают v₁ = √(GM/R); поскольку у поверхности g = GM/R², ту же формулу записывают как v₁ = √(gR). Значит, скорость зависит от свойств планеты — её радиуса и ускорения свободного падения, а не от массы спутника.
| Вид движения | Ускорение | Траектория | Что учитывать при решении |
|---|---|---|---|
| Вертикальное движение | Постоянное, направлено вниз; модуль g | Прямая вертикальная линия | Выбрать направление оси и учесть знак ускорения |
| Горизонтальный бросок | Вертикальная составляющая g вниз, горизонтальная равна нулю | Парабола | Сначала найти время по вертикали, затем дальность по горизонтали |
| Бросок под углом к горизонту | Постоянное ускорение g вниз | Парабола | Разложить начальную скорость на составляющие по осям |
| Движение спутника по круговой орбите | Центростремительное, направлено к центру орбиты | Окружность | Учесть радиус орбиты и связать ускорение с силой тяготения |
Сначала определите вид движения и выберите оси координат, а затем запишите уравнения отдельно для каждой оси. Для броска найдите время по вертикальному движению и используйте его в горизонтальном уравнении. Для спутника применяйте связь силы тяготения с центростремительным ускорением.
Задача 1. Тело бросили вертикально вверх с начальной скоростью 20 м/с. Найдите время подъёма и максимальную высоту, приняв g = 10 м/с².
Ответ: время подъёма — 2 с, максимальная высота — 20 м. На вершине скорость равна нулю только в этот миг, но ускорение свободного падения продолжает действовать вниз.
Задача 2. Мяч бросили горизонтально со скоростью 15 м/с с обрыва высотой 20 м. Определите время падения и дальность полёта, приняв g = 10 м/с².
Ответ: мяч падает 2 с и пролетает по горизонтали 30 м. Разделение на оси позволяет не смешивать величины, которые отвечают за разные части движения.
Задача 3. Найдите первую космическую скорость у поверхности планеты радиусом 6,4·10⁶ м, если ускорение свободного падения на ней равно 10 м/с².
Ответ: первая космическая скорость равна 8·10³ м/с. Здесь радиус берётся от центра планеты; для орбиты выше поверхности к радиусу планеты нужно прибавить высоту.
При горизонтальном броске иногда считают, что скорость всё время направлена горизонтально. Это верно только для её горизонтальной составляющей: сила тяжести создаёт вертикальную скорость, и полная скорость постепенно меняет направление. Проверка: запишите отдельно vₓ и vᵧ и убедитесь, что вертикальная составляющая после броска не равна нулю.
Другая ошибка — путать скорость с ускорением свободного падения или менять знак g без выбора направления оси. Причина обычно в том, что знак ускорения пытаются определить отдельно от системы координат. Сначала задайте положительное направление, затем укажите проекции; модуль g остаётся положительной величиной, а знак зависит от оси.
Иногда движение спутника представляют как происходящее без силы тяжести. Тогда непонятно, почему траектория искривляется и спутник остаётся на орбите; на самом деле притяжение сообщает ему центростремительное ускорение. Проверить рассуждение можно по направлению силы: при круговом движении она должна быть направлена к центру орбиты.
В формулу космической скорости могут подставить высоту спутника вместо расстояния до центра планеты. Высота отсчитывается от поверхности, поэтому радиус орбиты равен R + h, а не h. Перед вычислением проверьте, откуда отсчитывается нужное расстояние и совпадают ли единицы измерения.
Для описания движения в гравитационном поле нужны законы Ньютона: они связывают действующую силу с ускорением. Также понадобятся понятия силы тяжести и ускорения свободного падения, а для расчёта положения и скорости — уравнения равноускоренного движения. Разложение движения на составляющие использует знакомую идею независимого рассмотрения проекций на оси.
Тема служит основой для изучения закона всемирного тяготения: из него можно вычислять силу притяжения и движение небесных тел. Те же рассуждения применяются к искусственным спутникам, запуску космических аппаратов и полётам между планетами. Различие космических скоростей помогает понять, когда аппарат обращается вокруг планеты, а когда может покинуть её.
Почему спутник не падает на Землю, если на него действует сила тяжести?
Спутник всё время падает под действием силы тяжести, но обладает большой скоростью вдоль орбиты. Пока он падает, поверхность Земли из-за её кривизны уходит от него. Поэтому спутник продолжает двигаться вокруг планеты.
Как определить время падения тела, брошенного горизонтально?
Время находят по вертикальному движению: начальная вертикальная скорость равна нулю, а ускорение равно g. Если высота равна h, то h = gt²/2, откуда t = √(2h/g). Горизонтальная скорость на время падения не влияет.
Почему горизонтальная и вертикальная составляющие движения можно рассматривать отдельно?
В однородном поле тяжести сила направлена вертикально, поэтому горизонтального ускорения нет, а вертикальное равно g и направлено вниз. Движения по двум осям происходят одновременно, но уравнения для них независимы. Связать результаты можно по общему времени полёта.
От чего зависит первая космическая скорость?
У поверхности планеты она зависит от радиуса планеты и ускорения свободного падения: v₁ = √(gR). Чем больше эти величины, тем больше скорость, необходимая для круговой орбиты. Для спутника на высоте вместо R берут расстояние до центра планеты.
Чем первая космическая скорость отличается от второй?
Первая космическая скорость нужна, чтобы двигаться по круговой орбите около планеты. Вторая — минимальная скорость, позволяющая преодолеть притяжение планеты и удалиться от неё. Она больше первой.
§ 30. Движение тел в гравитационном поле
