"Физика (базовый уровень)", Касьянов В.А.
Столкновение — краткое взаимодействие тел, во время которого их скорости заметно меняются. Такие процессы описывают, применяя закон сохранения импульса, если внешним воздействием за время удара можно пренебречь. При абсолютно неупругом ударе тела после контакта движутся вместе, а часть кинетической энергии переходит в другие формы. При абсолютно упругом они разлетаются, сохраняя суммарную кинетическую энергию. Различие между этими случаями помогает выбрать нужные уравнения и найти скорости после удара.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Столкновение — кратковременное взаимодействие тел, при котором их скорости заметно изменяются. Во время удара силы взаимодействия могут быть очень велики, но действуют недолго. Понятие столкновения позволяет рассматривать изменение движения за короткий промежуток времени.
Абсолютно неупругое столкновение — удар, после которого тела движутся вместе с общей скоростью. Часть их механической энергии переходит во внутреннюю энергию, деформацию и другие формы. Эта модель подходит, например, для удара, после которого тела сцепились.
Абсолютно упругое столкновение — взаимодействие, после которого тела разлетаются, а суммарная кинетическая энергия системы сохраняется. Такое столкновение рассматривают как идеальную модель: потери энергии на нагрев и деформацию не учитываются. Она помогает рассчитывать скорости тел после удара.
Импульс тела — векторная величина p = mv, где m — масса, а v — скорость. Импульс системы равен векторной сумме импульсов всех тел, поэтому направления движения учитываются обязательно. Это обозначение нужно для записи закона сохранения импульса.
Во время столкновения тела взаимодействуют друг с другом, но удар обычно длится очень мало. За это время внешние силы — например, тяжести или опоры — часто не успевают заметно изменить импульс системы. Поэтому внешним импульсом пренебрегают и считают систему тел замкнутой для рассматриваемого процесса. Тогда общий импульс до удара равен общему импульсу после.
Записать закон сохранения удобно отдельно для состояний до и после взаимодействия. Если тел два, их импульсы до удара равны m₁v₁ и m₂v₂, а после — m₁u₁ и m₂u₂. Получается уравнение m₁v₁ + m₂v₂ = m₁u₁ + m₂u₂, где u₁ и u₂ — скорости после столкновения. Для движения вдоль прямой скорости берут со знаками, а в пространстве складывают векторы.
При абсолютно неупругом ударе тела после взаимодействия движутся вместе, поэтому их скорости одинаковы: u₁ = u₂ = u. Подстановка этого условия в закон сохранения импульса даёт m₁v₁ + m₂v₂ = (m₁ + m₂)u. Отсюда находят общую скорость: u = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂). Знак результата показывает направление движения сцепившихся тел.
Неупругость означает, что механическая энергия может переходить в другие формы, поэтому равенство кинетических энергий до и после обычно неверно. При абсолютно упругом ударе, напротив, суммарная кинетическая энергия сохраняется вместе с импульсом системы. Это отличие принципиально: одного уравнения импульса для двух неизвестных конечных скоростей обычно недостаточно. Второе уравнение даёт закон сохранения кинетической энергии.
Для двух тел при упругом ударе записывают m₁v₁ + m₂v₂ = m₁u₁ + m₂u₂ и ½m₁v₁² + ½m₂v₂² = ½m₁u₁² + ½m₂u₂². Первое уравнение описывает сохранение общего движения системы, второе — сохранение её кинетической энергии. Решая систему, получают скорости после удара; затем проверяют, что найденные значения удовлетворяют обоим законам. Для столкновения на одной прямой направление скоростей также учитывают знаками.
| Признак | Абсолютно неупругое столкновение | Абсолютно упругое столкновение |
|---|---|---|
| Движение тел после удара | Движутся вместе | Разлетаются |
| Сохранение импульса системы | Сохраняется, если внешним импульсом можно пренебречь | Сохраняется, если внешним импульсом можно пренебречь |
| Сохранение суммарной кинетической энергии | Обычно не сохраняется | Сохраняется |
| Связь скоростей тел после удара | Скорости одинаковы | Скорости в общем случае разные |
| Какие законы использовать для расчёта | Закон сохранения импульса | Законы сохранения импульса и кинетической энергии |
Сначала определите, что происходит с телами после удара: сцепляются они или разлетаются. Затем выберите соответствующие законы сохранения и проверьте, можно ли считать систему замкнутой. Таблица помогает не применять закон сохранения кинетической энергии к неупругому удару.
Пусть тело массой 2 кг движется вправо со скоростью 3 м/с, а тело массой 1 кг — влево со скоростью 6 м/с. После удара они сцепляются. Найдём их общую скорость, считая внешним импульсом за время удара пренебрежимо малым.
Ответ: после удара тела покоятся. Отрицательный знак у скорости второго тела был необходим, поскольку оно двигалось против выбранного направления.
Тело массой 2 кг движется со скоростью 6 м/с и сталкивается с покоящимся телом массой 4 кг. После абсолютно неупругого удара они движутся вместе. Найдём скорость сцепившихся тел и изменение кинетической энергии системы.
Ответ: общая скорость равна 2 м/с, кинетическая энергия уменьшилась на 24 Дж. Эта разность перешла в другие формы энергии; сохранять кинетическую энергию в расчёте было бы ошибкой.
Тело массой 1 кг движется вправо со скоростью 4 м/с и сталкивается с покоящимся телом массой 3 кг. Удар абсолютно упругий. Найдём скорости обоих тел после столкновения, выбрав направление вправо положительным.
Ответ: первое тело движется влево со скоростью 2 м/с, второе — вправо со скоростью 2 м/с. Направления показывают, что после удара тела разлетаются.
Складывать модули скоростей, забывая о направлении. Так поступают, когда воспринимают импульс как скалярную величину. Но импульс направлен, поэтому для движения по прямой скорости записывают со знаками. Проверьте выбранную ось: тела, движущиеся в противоположные стороны, должны иметь разные знаки скоростей.
Считать кинетическую энергию сохраняющейся при абсолютно неупругом ударе. Ошибка возникает из-за привычки применять один и тот же закон энергии во всех столкновениях. При таком ударе часть кинетической энергии переходит во внутреннюю энергию и другие формы. Проверьте вид столкновения: для сцепившихся тел используйте импульс, а не равенство кинетических энергий.
Приписывать телам разные скорости после абсолютно неупругого удара. Это делают, если не используют условие, что тела после удара движутся вместе. Их скорости должны быть равны, иначе тела не двигались бы как одно целое. Проверьте уравнение после удара: для двух сцепившихся тел в нём должна стоять одна общая скорость.
Применять сохранение импульса без условия о внешнем воздействии. Закон относится к системе тел, а не обязательно к каждому телу отдельно. Внешние силы могут изменить общий импульс, если их действие за время удара нельзя считать малым. Перед расчётом оцените, можно ли пренебречь внешним импульсом; если нельзя, обычное уравнение сохранения неприменимо.
Для решения задач о столкновениях нужно знать импульс тела и второй закон Ньютона в импульсной форме: изменение импульса связано с действием силы за время. Из них становится понятнее, почему при коротком ударе важен общий импульс системы. Закон сохранения импульса позволяет находить движение тел после взаимодействия.
При абсолютно упругом столкновении дополнительно используют формулу кинетической энергии E = ½mv² и закон её сохранения. Сравнение энергий до и после помогает описывать переход механической энергии в другие формы при неупругом ударе. Эти знания применяются в задачах о механических взаимодействиях, отдаче и движении тел после удара.
Почему при столкновении можно считать систему замкнутой?
Удар длится очень короткое время, поэтому внешний импульс, полученный системой за этот промежуток, часто намного меньше импульсов взаимодействующих тел. Тогда его влиянием пренебрегают и считают, что импульс системы сохраняется. Это приближение нужно проверять по условиям задачи.
Почему после абсолютно неупругого удара тела движутся с одной скоростью?
По определению абсолютно неупругого столкновения после удара тела сцепляются или иным образом продолжают движение вместе. У связанных тел общая скорость, поэтому в уравнении сохранения импульса после удара для обоих тел используется одна и та же скорость.
Что происходит с кинетической энергией при неупругом столкновении?
Её часть переходит во внутреннюю энергию тел, например вызывает нагрев и деформацию, а также может расходоваться на звук. Поэтому суммарная кинетическая энергия после неупругого удара обычно меньше, чем до него. Импульс системы при этом может сохраняться.
Какие величины сохраняются при абсолютно упругом столкновении?
Если внешним импульсом можно пренебречь, сохраняется импульс системы. При абсолютно упругом столкновении сохраняется также суммарная кинетическая энергия тел. Оба закона используют для нахождения скоростей после удара.
Как выбрать знаки скоростей тел, движущихся навстречу друг другу?
Сначала выберите положительное направление оси, например направление движения первого тела. Его скорость будет положительной, а скорость второго тела, движущегося навстречу, — отрицательной. В формулах импульса подставляйте скорости со знаками, а не их модули.
§ 29. Абсолютно неупругое и упругое столкновение
