"Физика (базовый уровень)", Касьянов В.А.
Механическая энергия описывает движение тел и их взаимодействие и равна сумме кинетической и потенциальной энергий. Закон её сохранения позволяет находить скорость тела или его положение, не разбирая подробно каждый участок движения. Если на систему действуют только консервативные силы, например сила тяжести или упругости, полная механическая энергия не меняется: одна её часть может перейти в другую. При трении механическая энергия превращается во внутреннюю, но общая энергия не исчезает.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Механическая энергия — сумма кинетической и потенциальной энергий тела или системы тел; её обозначают E и измеряют в джоулях (Дж). Она помогает описывать, сколько энергии связано с движением и взаимодействием системы. Чтобы найти полную механическую энергию, складывают соответствующие энергии всех рассматриваемых тел.
Кинетическая энергия Eк — энергия движения тела, определяемая его массой m и скоростью v: Eк = mv²/2. Чем больше масса или скорость, тем больше энергия; при удвоении скорости она возрастает в четыре раза. Эта формула нужна, чтобы связывать движение тела с работой сил и сравнивать состояния системы.
Потенциальная энергия Eп — энергия взаимодействия тел или частей системы, например тела с Землёй или деформированной пружины. Её значение зависит от выбранного нулевого уровня: можно назначить нулём любое удобное положение, поскольку физический смысл имеет изменение энергии. Выбор отсчёта упрощает вычисления, если сохранять его одинаковым на протяжении всей задачи.
Консервативными называют силы, работа которых не зависит от формы траектории, а определяется начальным и конечным положениями. К ним относятся сила тяжести и сила упругости; при движении под их действием энергия может переходить между кинетической и потенциальной. Это свойство позволяет применять закон сохранения механической энергии без вычисления работы на каждом участке пути.
Когда сила действует на движущееся тело, она совершает работу и изменяет его кинетическую энергию. Работа положительна, если сила разгоняет тело в направлении движения, поэтому скорость и Eк растут; работа отрицательна, если сила тормозит тело, и кинетическая энергия уменьшается. Эта связь объясняет, почему движение меняется именно при передаче энергии через работу силы.
Работа консервативной силы равна изменению потенциальной энергии с противоположным знаком: A = −ΔEп. Например, при падении сила тяжести совершает положительную работу, а потенциальная энергия тела уменьшается; при подъёме происходит обратное. Знак минус показывает, что энергия, отданная системой при работе силы, убывает в запасе потенциальной энергии.
При действии консервативных сил изменение кинетической энергии равно их работе, а эта работа связана с противоположным изменением потенциальной энергии. Поэтому прирост одной составляющей компенсируется убылью другой: если тело падает, Eп переходит в Eк, а при подъёме часть Eк становится Eп. Сумма остаётся неизменной, пока нет сил, которые уводят энергию из механического движения и взаимодействия.
Для замкнутой системы, в которой действуют только консервативные силы, закон записывают так: Eк₁ + Eп₁ = Eк₂ + Eп₂. Индексы 1 и 2 обозначают начальное и конечное состояния, а сама сумма Eк + Eп сохраняется. Отдельные энергии не обязаны оставаться постоянными: при падении обычно уменьшается Eп и растёт Eк, а при сжатии пружины возможен обратный переход.
При трении механическая энергия обычно уменьшается, потому что часть энергии движения и взаимодействия переходит во внутреннюю энергию соприкасающихся тел. Это может проявляться в нагревании поверхности и деталей, хотя энергия не исчезает. Закон сохранения механической энергии в таком случае напрямую не применяют без учёта потерь; общий закон сохранения энергии по-прежнему выполняется.
| Вид энергии или условие | От чего зависит | Формула или связь | Роль в превращениях |
|---|---|---|---|
| Кинетическая энергия | От массы и скорости тела | Eк = mv²/2 | Возрастает при разгоне, убывает при торможении |
| Потенциальная энергия в поле тяжести | От массы, ускорения свободного падения и высоты относительно нулевого уровня | Eп = mgh | Переходит в кинетическую при падении и обратно при подъёме |
| Потенциальная энергия упруго деформированного тела | От жёсткости пружины и величины деформации | Eп = kx²/2 | Может сообщить телу кинетическую энергию при распрямлении |
| Полная механическая энергия | От кинетических и потенциальных энергий системы | E = Eк + Eп | Сохраняется при выполнении условий закона |
| Условия сохранения механической энергии | От действия сил и выбора системы | Eк₁ + Eп₁ = Eк₂ + Eп₂ | Нет потерь на трение и другие неконсервативные силы |
Сначала определите, какой вид энергии есть у системы в начальном и конечном состояниях, и выберите нулевой уровень для потенциальной энергии. Затем используйте соответствующие формулы и проверьте, допустимо ли пренебречь трением. Если условие сохранения выполнено, приравняйте полные механические энергии этих состояний.
Тело массой 2 кг движется со скоростью 3 м/с. Нужно найти его кинетическую энергию. Поскольку известны масса и скорость, выбираем формулу Eк = mv²/2. Единицы уже приведены к системе СИ, поэтому дополнительное преобразование не требуется.
Запишем формулу: Eк = mv²/2. В ней скорость возводится в квадрат до умножения на массу. Так мы учитываем, что кинетическая энергия зависит от квадрата скорости.
Подставим значения: Eк = 2 · 3²/2 = 9 Дж. Килограмм, умноженный на квадрат метра в секунду, даёт единицу энергии — джоуль. Ответ: 9 Дж.
Тело падает без начальной скорости с высоты 5 м; требуется найти скорость перед ударом о землю. Сопротивлением воздуха пренебрегаем, поэтому механическая энергия сохраняется. Землю примем за нулевой уровень потенциальной энергии, а ускорение свободного падения возьмём g = 9,8 м/с².
В начальном состоянии скорость равна нулю, поэтому есть только потенциальная энергия: Eп₁ = mgh. Перед ударом высота относительно выбранного уровня равна нулю, значит остаётся кинетическая энергия Eк₂ = mv²/2. Масса есть в обеих частях равенства и сократится.
Приравняем энергии: mgh = mv²/2, откуда v = √(2gh). Подставим высоту: v = √(2 · 9,8 · 5) = √98 ≈ 9,9 м/с. Ответ: скорость перед ударом примерно 9,9 м/с.
Пружина жёсткостью 200 Н/м сжата на 0,10 м и сообщает движение телу массой 0,5 кг. Найдём скорость тела, считая потери энергии отсутствующими. Начальная энергия запасена в деформированной пружине, а после распрямления переходит в кинетическую энергию тела.
Запишем начальную энергию пружины Eп₁ = kx²/2, где x — сжатие. Конечную энергию тела выразим как Eк₂ = mv²/2. По условию потерь нет, поэтому приравняем эти энергии.
Получаем kx²/2 = mv²/2, откуда v = x√(k/m). Подставим значения: v = 0,10 · √(200/0,5) = 0,10 · 20 = 2 м/с. Ответ: скорость тела равна 2 м/с.
Считать, что отдельно сохраняется кинетическая или потенциальная энергия, — неверно: при падении одна уменьшается, а другая растёт. Такую ошибку допускают, сосредоточившись на одном виде энергии. Проверка: запишите сумму Eк + Eп для начального и конечного состояний и сравните её.
Применять закон сохранения механической энергии при заметном трении без поправок нельзя, потому что часть механической энергии переходит во внутреннюю. Ошибка возникает, если считать, что отсутствие внешнего разгона означает отсутствие потерь. Проверьте условие задачи: при трении нужно учесть его работу или изменение внутренней энергии.
Подстановка высоты или удлинения без выбора точки отсчёта приводит к неверной потенциальной энергии. Высота отсчитывается от выбранного нулевого уровня, а деформация пружины — от положения равновесия; эти величины нельзя смешивать. Перед вычислением обозначьте соответствующий отсчёт и убедитесь, что используете его одинаково в обоих состояниях.
Если забыть квадрат скорости в Eк = mv²/2 или квадрат деформации в Eп = kx²/2, получится неправильная зависимость энергии от движения или сжатия. Часто это происходит при поспешной подстановке чисел. Проверяйте формулу до вычислений и размерность результата: энергия должна измеряться в джоулях.
Для вывода закона нужна работа силы и теорема об изменении кинетической энергии: работа объясняет, как сила меняет движение. Также необходимо уметь находить потенциальную энергию в поле тяжести и энергию упруго деформированной пружины. Эти знания позволяют составить энергетический баланс между начальным и конечным состояниями.
Закон сохранения механической энергии помогает решать задачи о колебаниях, где энергия переходит между кинетической и потенциальной. Он также применяется при изучении движения планет и позволяет находить скорость или высоту без подробного анализа всей траектории. В каждой задаче нужно проверить, можно ли пренебречь трением и сопротивлением.
Что именно сохраняется при движении тела без трения?
Сохраняется сумма кинетической и потенциальной энергий системы, а не каждая из них по отдельности. Пока тело движется, эти виды энергии могут переходить друг в друга.
Почему потенциальную энергию можно отсчитывать от разных нулевых уровней?
Физически важна не сама выбранная величина потенциальной энергии, а её изменение между двумя положениями. Поэтому нулевой уровень можно выбрать удобно для задачи, если последовательно отсчитывать энергию от него.
Можно ли применять закон сохранения механической энергии при сопротивлении воздуха?
Если сопротивление воздуха заметно, механическая энергия обычно не сохраняется: часть переходит во внутреннюю энергию тела и воздуха. Закон можно применять приближённо, когда сопротивлением можно пренебречь.
Как найти скорость тела, если известны начальная высота и скорость?
Запишите равенство начальной и конечной сумм кинетической и потенциальной энергий. Для падения с высоты h до выбранного нулевого уровня оно даёт v² = v₀² + 2gh, если сопротивлением воздуха пренебречь.
Куда переходит механическая энергия при торможении?
При торможении из-за трения механическая энергия переходит главным образом во внутреннюю энергию тормозов, колёс и окружающей среды. Поэтому детали могут нагреваться.
§ 28. Закон сохранения механической энергии
