"Физика", Кабардин О.Ф.
Механическая энергия описывает движение тел и их взаимодействие: она складывается из кинетической и потенциальной энергий. Если на систему действуют только сила тяжести или сила упругости, энергия переходит из одной формы в другую, а её общая величина не меняется. Этот закон помогает находить скорость, высоту или деформацию пружины без подробного расчёта движения в каждый момент. При трении часть механической энергии превращается во внутреннюю.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Механическая энергия — сумма кинетической и потенциальной энергий тела или системы тел: E = Eк + Eп. Она показывает, сколько энергии связано с движением и взаимодействием в механической системе. Эта величина нужна, чтобы описывать превращения энергии и сравнивать состояния системы.
Кинетическая энергия — энергия движения тела, вычисляемая по формуле Eк = mv²/2, где m — масса, а v — скорость. Чем тяжелее тело или чем быстрее оно движется, тем больше его кинетическая энергия. Формула позволяет находить энергию движения, не рассматривая подробно, как тело разгонялось.
Потенциальная энергия — энергия взаимодействия тел или частей системы. Для тела у поверхности Земли Eп = mgh, а для деформированной пружины Eп = kx²/2, где h — высота, k — жёсткость пружины, x — её удлинение или сжатие. Эти формулы помогают учитывать запас энергии, связанный с положением тела или деформацией.
Закон сохранения механической энергии утверждает: если действуют только консервативные силы, сумма кинетической и потенциальной энергий остаётся постоянной. Консервативными здесь называют, например, силу тяжести и силу упругости. Закон нужен, чтобы связывать начальное и конечное состояния без расчёта всех промежуточных движений.
Движущееся тело может совершить работу: например, ударить по другому телу и сдвинуть его. Поэтому движение связано с запасом энергии, который называют кинетическим. По формуле Eк = mv²/2 энергия прямо пропорциональна массе, но зависит от скорости особенно сильно: если скорость увеличить вдвое, кинетическая энергия возрастёт в четыре раза.
Потенциальная энергия возникает, когда положение или форма системы позволяют силам взаимодействия совершить работу. Поднятое тело может упасть, а сжатая пружина — распрямиться и разогнать груз. Для энергии в поле тяжести выбирают уровень, где h = 0; его можно провести на любой высоте, потому что в расчётах перехода важна разность высот. При смене нулевого уровня численные значения Eп изменятся, но изменение энергии между состояниями останется прежним.
Когда тело падает, его высота уменьшается и потенциальная энергия превращается в кинетическую: скорость растёт. При движении вверх происходит обратное превращение: тело замедляется, а потенциальная энергия увеличивается. Если потерями можно пренебречь, изменения этих энергий компенсируют друг друга, так что Eк + Eп остаётся неизменной.
Сила тяжести и сила упругости могут менять кинетическую энергию тела, одновременно изменяя его потенциальную энергию. В идеальной системе эти силы не отнимают энергию у механического движения, а лишь передают её между двумя формами. Трение устроено иначе: при скольжении поверхности нагреваются, поэтому часть механической энергии превращается во внутреннюю. Сопротивление воздуха также уносит часть энергии из механического движения, и одной суммы Eк + Eп уже недостаточно для описания сохранения полной энергии.
Чтобы применить закон, обозначают начальное и конечное состояния и записывают сумму энергий в каждом из них: Eк₁ + Eп₁ = Eк₂ + Eп₂. Затем подставляют подходящие формулы и известные величины, а неизвестное выражают из равенства. Например, высота может определять Eп₁, а скорость в конечном состоянии — Eк₂. Перед вычислением переводят значения в единицы СИ и проверяют, что рассматриваются только подходящие силы.
| Вид энергии | Обозначение и формула | От чего зависит | Когда изменяется |
|---|---|---|---|
| Кинетическая энергия | Eк = mv²/2 | От массы m и квадрата скорости v | При изменении скорости тела |
| Потенциальная энергия тела в поле тяжести | Eп = mgh | От массы m, ускорения свободного падения g и высоты h относительно нуля | При изменении высоты или выбранного нулевого уровня |
| Потенциальная энергия деформированной пружины | Eп = kx²/2 | От жёсткости k и квадрата деформации x | При изменении сжатия или растяжения пружины |
| Полная механическая энергия | E = Eк + Eп | От движения и взаимодействия в системе | Не меняется при действии только консервативных сил |
| Изменение энергии при наличии трения | Механическая энергия уменьшается; часть переходит во внутреннюю | От работы силы трения и сопротивления | При скольжении, нагревании и сопротивлении среды |
Сначала определите, какие виды энергии есть в начальном и конечном состояниях, а затем выберите соответствующие формулы из таблицы. Сравните сумму энергий: она постоянна только тогда, когда потерями на трение и сопротивление можно пренебречь. Высоту в формуле mgh отсчитывайте от одного и того же выбранного уровня.
Камень массой 2 кг падает с высоты 5 м без начальной скорости. Нужно найти его скорость перед ударом о землю. Сопротивлением воздуха пренебрегаем, поэтому потенциальная энергия вначале перейдёт в кинетическую.
Ответ: скорость камня перед ударом примерно 9,9 м/с. Масса сократилась, поэтому в идеальном падении скорость не зависит от массы камня. Проверка размерности под корнем даёт м²/с², а после извлечения корня — м/с.
Тело бросили вертикально вверх со скоростью 20 м/с. Требуется найти наибольшую высоту подъёма над точкой броска. Сопротивлением воздуха пренебрегаем, поэтому механическая энергия сохраняется.
Ответ: максимальная высота подъёма — около 20,4 м. Нулевая скорость в верхней точке означает остановку лишь на мгновение, а не исчезновение энергии. Полученная высота измерена от точки броска, выбранной за нулевой уровень.
Груз массой 0,5 кг прикреплён к пружине жёсткостью 200 Н/м и сжимает её на 10 см. Найдём скорость груза после освобождения, считая, что вся энергия пружины переходит в кинетическую. Сначала важно перевести деформацию в метры: 10 см = 0,10 м.
Ответ: скорость груза равна 2 м/с. Перевод сантиметров в метры необходим, потому что жёсткость задана в Н/м, а единицы формулы должны быть согласованы. Такой расчёт предполагает отсутствие потерь и подходящее направление движения груза.
Первая ошибка — считать, что отдельно сохраняется кинетическая или потенциальная энергия. При падении одна обычно уменьшается, а другая увеличивается, поэтому постоянной остаётся их сумма. Ошибка возникает, если принять превращение энергии за её потерю. Проверьте решение, записав Eк₁ + Eп₁ и Eк₂ + Eп₂ и сравнив обе суммы.
Вторая ошибка — применять закон сохранения механической энергии при заметном трении, не учитывая переход энергии во внутреннюю. Так поступают, потому что забывают о нагревании поверхностей и воздуха. Проверьте условие задачи: если трение или сопротивление не названы пренебрежимо малыми, равенство механических энергий может быть неверным. Тогда нужно учитывать работу этих сил.
Третья ошибка — подставлять высоту без указания нулевого уровня или считать отрицательную потенциальную энергию невозможной. Значение Eп зависит от того, где выбран ноль, и ниже него высота может быть отрицательной. Это не означает, что расчёт ошибочен. Для проверки укажите уровень отсчёта и последовательно используйте его в обоих состояниях.
Четвёртая ошибка — забыть квадрат скорости в формуле Eк = mv²/2 или оставить скорость без возведения в квадрат. Такое случается при спешке или из-за смешения формул энергии и импульса. Проверьте запись формулы до подстановки, а затем оцените единицы: кинетическая энергия должна измеряться в джоулях, то есть в кг·м²/с². Если получилась единица скорости, вы нашли не энергию.
Для решения задач нужны формулы кинематического движения, второй закон Ньютона, понятие работы силы и единица энергии — джоуль. Закон сохранения энергии упрощает задачи о падении и броске тел, движении по наклонной плоскости и колебаниях пружинного маятника. Если трение нельзя отбросить, приходится учитывать работу силы трения и переход механической энергии во внутреннюю. Эти идеи связывают тему с общим законом сохранения энергии и дальнейшим изучением механических колебаний.
Почему потенциальная энергия зависит от выбранного нулевого уровня?
Потенциальную энергию определяют относительно условного уровня, которому приписывают нулевое значение. Если выбрать другой уровень, численное значение энергии изменится, но разность энергий между двумя положениями останется прежней. Поэтому физические выводы и расчёты не зависят от выбора нуля.
Сохраняется ли механическая энергия при падении тела с сопротивлением воздуха?
Нет, если сопротивлением воздуха нельзя пренебречь. Часть механической энергии переходит во внутреннюю энергию тела и воздуха. Если сопротивление очень мало, им иногда пренебрегают и считают механическую энергию сохраняющейся приблизительно.
Почему скорость входит в кинетическую энергию в квадрате?
Кинетическая энергия связана с работой, которую нужно совершить, чтобы разогнать тело. При выводе формулы учитывается, что при разгоне сила действует на пройденном расстоянии, а скорость при этом меняется. Поэтому получается зависимость Eк = mv²/2: при удвоении скорости энергия возрастает в четыре раза.
Можно ли применять закон сохранения механической энергии при движении по наклонной плоскости?
Можно, если трения нет или им можно пренебречь, а сопротивление воздуха несущественно. Наклонная плоскость меняет направление движения и соотношение высоты и пути, но сама по себе не превращает механическую энергию во внутреннюю. При наличии заметного трения нужно учитывать его работу.
Что происходит с механической энергией при трении?
При трении часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию соприкасающихся тел, поэтому они могут нагреваться. Полная энергия системы при этом не исчезает, но сумма кинетической и потенциальной энергий обычно уменьшается. Чтобы описать изменение, учитывают работу силы трения.
З Закон сохранения механической энергии
