"Физика", Пурышева Н.С., Важеевская Н.Е., Чаругин В.М.
Механическая энергия — это сумма энергий движения и взаимодействия тел. Когда действуют только сила тяжести и сила упругости, эта сумма не меняется: кинетическая энергия может переходить в потенциальную, а потенциальная — в кинетическую. Закон сохранения механической энергии помогает находить скорость или высоту тела, не рассматривая подробно каждый участок его движения. Если есть трение, часть механической энергии превращается во внутреннюю, и прежняя сумма уже не сохраняется.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Механическая энергия — сумма кинетической и потенциальной энергий тела или системы: E = Eк + Eп. Здесь E обозначает полную механическую энергию, Eк — энергию движения, Eп — энергию взаимодействия или деформации. Такое представление помогает учитывать сразу оба возможных источника механической энергии.
Кинетическая энергия — энергия движения тела, зависящая от его массы m и скорости v. Её вычисляют по формуле Eк = mv²/2, поэтому при большей массе или скорости энергия движения больше. Формула позволяет связать скорость тела с изменением его энергии.
Потенциальная энергия — энергия взаимодействия тел или частей тела, зависящая от их взаимного положения либо деформации. Например, энергия тяжести связана с высотой, а энергия пружины — с её растяжением или сжатием. Нулевой уровень выбирают для удобства: конкретное значение потенциальной энергии зависит от этого выбора.
Закон сохранения механической энергии утверждает: если нет потерь на силы вроде трения и сопротивления, сумма кинетической и потенциальной энергий системы остаётся постоянной. Запись закона — Eк + Eп = const, где const означает неизменную величину. Это позволяет сравнивать разные положения тела и находить неизвестную скорость или высоту.
Изменение кинетической энергии связано с работой силы: работа показывает, как действие силы передаёт телу энергию. Если сила ускоряет тело, его скорость и кинетическая энергия увеличиваются; если тормозит — уменьшаются. Сила тяжести и сила упругости могут совершать такую работу и тем самым менять скорость тела.
При падении сила тяжести направлена вниз и разгоняет тело, поэтому его скорость возрастает. Одновременно уменьшается высота, а значит, и потенциальная энергия тяжести. Энергия не исчезает: при отсутствии потерь уменьшение Eп компенсируется увеличением Eк, и именно поэтому скорость можно вычислить по разности высот.
При подъёме происходит обратное превращение: тело движется вверх, сила тяжести уменьшает его скорость, а потенциальная энергия растёт. Если тело бросили вертикально, в наивысшей точке скорость на мгновение становится равной нулю. Кинетическая энергия там тоже равна нулю, а механическая энергия представлена потенциальной.
Похожее превращение происходит с пружиной. Сжатая или растянутая пружина обладает энергией упругой деформации и, распрямляясь, толкает тело, увеличивая его скорость. Когда тело сжимает пружину, движение может снова передавать энергию деформации; при отсутствии потерь сумма этих энергий остаётся одной и той же.
Если на систему действуют только силы тяжести и упругости, уменьшение одной составляющей компенсируется увеличением другой. Поэтому для двух положений можно записать Eк₁ + Eп₁ = Eк₂ + Eп₂, или Eк + Eп = const. При трении либо сопротивлении часть механической энергии переходит во внутреннюю, например в нагревание тел. Общая энергия при этом не пропадает, но механическая сумма уже не остаётся постоянной.
| Характеристика | Кинетическая энергия | Потенциальная энергия тяжести | Потенциальная энергия упругой деформации |
|---|---|---|---|
| Формула | Eк = mv²/2 | Eп = mgh | Eп = kx²/2 |
| От чего зависит | От массы m и скорости v | От массы m, ускорения свободного падения g и высоты h | От жёсткости пружины k и деформации x |
| Когда увеличивается | Когда растёт масса или скорость тела | Когда тело поднимается выше нулевого уровня | Когда сильнее сжата или растянута пружина |
| Относительно чего задаётся нулевое значение | При неподвижном теле, v = 0 | Относительно выбранного нулевого уровня высоты | При отсутствии деформации пружины, x = 0 |
Сначала определите, какой вид энергии есть у тела в рассматриваемом положении, а затем выберите подходящую формулу. Для энергии тяжести важно отсчитывать высоту от выбранного уровня, а для пружины — измерять её деформацию от недеформированного состояния. Сравнивая начальное и конечное положения, учитывайте все виды энергии, которые в них присутствуют.
Задача 1. Камень массой 0,5 кг падает с высоты 5 м без начальной скорости. Найдите его скорость перед ударом о землю, пренебрегая сопротивлением воздуха. Уровень земли примем за нулевой уровень потенциальной энергии. Так как потерь нет, энергия тяжести переходит в кинетическую.
Ответ: скорость камня перед ударом примерно 9,9 м/с. Масса сократилась, потому что и потенциальная, и кинетическая энергия пропорциональны массе. Это показывает, что в данной модели скорость падения с одной и той же высоты от массы не зависит.
Задача 2. Пружина жёсткостью 200 Н/м сжата на 0,1 м и выталкивает тело массой 0,4 кг. Найдите скорость тела при прохождении положения равновесия, если потерь нет. В положении равновесия пружина не деформирована. Поэтому её начальная энергия превращается в кинетическую энергию тела.
Ответ: тело проходит положение равновесия со скоростью примерно 2,24 м/с. В расчёте использована энергия пружины, а не энергия тяжести, поскольку рассматривается превращение энергии деформации в движение. При наличии потерь скорость оказалась бы меньше.
Задача 3. Тело массой 2 кг бросили вертикально вверх со скоростью 10 м/с с высоты 3 м. Определите наибольшую высоту подъёма над землёй, пренебрегая сопротивлением воздуха. Удобно считать потенциальную энергию нулевой на уровне земли. В верхней точке скорость тела равна нулю.
Ответ: наибольшая высота над землёй примерно 8,1 м. Начальная кинетическая энергия позволяет телу подняться выше начальной отметки, а потенциальная энергия в верхней точке равна всей механической энергии. Масса снова сокращается при расчёте.
Первая ошибка — считать механической энергией только кинетическую. Так думают, когда сосредотачиваются на движении, но забывают, что взаимодействие и положение тоже могут давать системе энергию. Проверьте себя: в формуле полной энергии должны быть учтены все виды энергии, имеющиеся в рассматриваемом положении.
Вторая ошибка — не указывать нулевой уровень потенциальной энергии. Из-за этого высоты в формуле могут отсчитываться по-разному, а вычисленные значения нельзя корректно сравнить. Перед расчётом обозначьте выбранный уровень и проверьте, что все высоты отсчитаны именно от него.
Третья ошибка — применять сохранение механической энергии, когда заметны трение или сопротивление. Энергия движения и взаимодействия тогда частично переходит во внутреннюю, поэтому их сумма меняется. Проверьте условие задачи: если потерями нельзя пренебречь, механическую энергию нельзя приравнять в начальном и конечном состояниях без дополнительного учёта работы сил.
Четвёртая ошибка — считать, что при сохранении механической энергии отдельно постоянны Eк и Eп. Обычно одна из них уменьшается, пока другая растёт, а неизменной остаётся только сумма. Для проверки запишите Eк + Eп для обоих положений и сравните суммы, а не каждую составляющую по отдельности.
Для изучения закона нужны формулы кинетической энергии и потенциальной энергии тяжести и упругой деформации, а также понятие работы силы. Работа объясняет, почему меняется энергия движения, а формулы помогают посчитать отдельные составляющие. Без этих знаний трудно определить, какие энергии входят в расчёт.
Закон полезен при решении задач о падении и подъёме тел, движении маятника и работе пружины. Он также связывает механику с общим законом сохранения энергии. При трении механическая энергия превращается, в частности, во внутреннюю, поэтому нужно различать сохранение полной энергии и постоянство механической энергии.
Что называют механической энергией?
Механическая энергия — сумма кинетической и потенциальной энергий тела или системы тел: E = Eк + Eп. Она учитывает и движение, и взаимодействие тел либо частей тела.
Почему потенциальная энергия зависит от выбора нулевого уровня?
Потенциальную энергию тяжести определяют относительно выбранной высоты, которой приписывают нулевое значение. Если выбрать другой уровень, численное значение энергии изменится, но при согласованных расчётах разность энергий и ответ задачи останутся прежними.
Когда можно применять закон сохранения механической энергии?
Его применяют, когда потерями на трение и сопротивление можно пренебречь, а работу совершают силы тяжести и упругости. Тогда сумма Eк + Eп в начальном и конечном состояниях одинакова.
Почему при падении потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая увеличивается?
При падении высота тела над выбранным нулевым уровнем уменьшается, поэтому уменьшается потенциальная энергия тяжести. Сила тяжести разгоняет тело, его скорость растёт, а вместе с ней растёт кинетическая энергия.
Сохраняется ли механическая энергия при наличии трения?
При заметном трении механическая энергия системы обычно не остаётся постоянной. Часть её переходит во внутреннюю энергию тел, например вызывает их нагревание; при этом выполняется общий закон сохранения энергии.
§ 23. Закон сохранения механической энергии
