§ 22. Работа и кинетическая энергия

Определения и обозначения

Механическая работа совершается, когда на тело действует сила и тело перемещается. Для постоянной силы её вычисляют по формуле A = Fs cos α, где F — сила, s — перемещение, α — угол между направлениями силы и перемещения. Работа показывает, сколько энергии сила передала телу или отняла у него. Без перемещения сила механической работы не совершает.

Кинетическая энергия — энергия, которой обладает движущееся тело. Она определяется формулой Eк = mv²/2, где m — масса тела, а v — его скорость. Эта величина помогает описывать способность движущегося тела совершать работу. Чем тяжелее тело или чем быстрее оно движется, тем больше его кинетическая энергия.

Теорема о кинетической энергии связывает работу равнодействующей силы с изменением кинетической энергии тела. Равнодействующая — это одна сила, заменяющая совместное действие всех сил. Теорема записывается так: A = Eк₂ − Eк₁, где индексы обозначают конечное и начальное состояния. Она нужна, чтобы связать действие сил с изменением скорости без подробного описания всего движения.

Как это устроено

Работа зависит от угла между силой и перемещением, потому что на движение вдоль пути влияет только составляющая силы в этом направлении. Её называют проекцией силы на направление перемещения; по величине она равна F cos α. Поэтому формула работы имеет вид A = Fs cos α, а не просто A = Fs. Например, если силу прикладывают поперёк движения, её проекция вдоль пути равна нулю и работа не совершается.

Знак работы показывает, как сила действует на движение. При остром угле между силой и перемещением cos α положителен: сила передаёт телу энергию, и его скорость может увеличиться. При тупом угле косинус отрицателен, поэтому сила отнимает энергию и может замедлять тело. Если угол прямой, работа равна нулю; при этом скорость может не измениться из-за этой силы, хотя на тело способны действовать и другие силы.

Теорема получается из определения работы и закона движения. Если на тело действует равнодействующая, она сообщает ему ускорение; при перемещении её работа связана с изменением скорости. Подставив в выражение для работы ускорение из закона движения и связав перемещение со скоростями, получают A = mv₂²/2 − mv₁²/2. Выражения справа — конечная и начальная кинетические энергии, поэтому работа равна их разности, а не просто конечной энергии.

В формуле Eк = mv²/2 скорость возведена в квадрат, поэтому её влияние особенно заметно. Если скорость увеличить в n раз, энергия станет в n² раз больше; например, при удвоении скорости она возрастёт в четыре раза. При неизменной скорости увеличение массы в несколько раз увеличивает энергию во столько же раз. Это объясняет, почему быстрое тяжёлое тело трудно остановить: для изменения его движения нужно изменить большую энергию.

Теорема удобна, когда известны начальная и конечная скорости, масса и работа сил, но не требуется подробно выяснять, как менялось движение между этими состояниями. Для нахождения работы достаточно вычислить конечную кинетическую энергию и вычесть начальную. Если известна работа, равенство можно преобразовать и найти конечную скорость. Нужно учитывать работу именно равнодействующей, то есть суммарное действие всех сил.

Механическая работа и кинетическая энергия

Сравнивайте величины по физическому смыслу: работа описывает действие силы на перемещении, а энергия — состояние движущегося тела. При вычислении работы сначала определите угол, а затем подставляйте данные в формулу. Если требуется связать работу и изменение скорости, используйте теорему о кинетической энергии.

Разбор задач

Сила 10 Н перемещает тело на 3 м вдоль направления силы. Найдём работу силы. Здесь направление перемещения совпадает с направлением силы, поэтому угол между ними равен нулю, а cos 0° = 1. Данные можно сразу подставить в формулу постоянной силы.

1. Запишем формулу: A = Fs cos α.
2. Подставим F = 10 Н, s = 3 м и α = 0°: A = 10 · 3 · 1.
3. Выполним умножение и проверим единицу: 1 Н · м = 1 Дж.

Ответ: A = 30 Дж. Положительный знак означает, что сила направлена по перемещению и передаёт телу энергию. Если бы сила была направлена противоположно, работа при той же величине силы и перемещения оказалась бы отрицательной.

Тело массой 2 кг движется со скоростью 5 м/с. Требуется найти его кинетическую энергию. В условии дана скорость, поэтому используем формулу Eк = mv²/2. Перед вычислением необходимо возвести скорость в квадрат, а не умножать массу только на скорость.

1. Запишем формулу: Eк = mv²/2.
2. Подставим массу и скорость: Eк = 2 · 5²/2.
3. Вычислим квадрат скорости и сократим: Eк = 2 · 25/2 = 25 Дж.

Ответ: Eк = 25 Дж. Джоуль — подходящая единица, поскольку энергия выражается в тех же единицах, что и работа. Полученное значение относится к движению тела со скоростью 5 м/с.

Тело массой 4 кг увеличило скорость с 2 м/с до 6 м/с. Найдём работу равнодействующей сил. Поскольку требуется работа, а известны скорости до и после изменения движения, удобнее применить теорему о кинетической энергии. Сначала вычислим каждую энергию, чтобы не перепутать порядок вычитания.

1. Запишем теорему: A = Eк₂ − Eк₁ = mv₂²/2 − mv₁²/2.
2. Найдём начальную энергию: Eк₁ = 4 · 2²/2 = 8 Дж.
3. Найдём конечную энергию: Eк₂ = 4 · 6²/2 = 72 Дж.
4. Вычтем начальную энергию из конечной: A = 72 − 8 = 64 Дж.

Ответ: работа равнодействующей равна 64 Дж. Она положительна, потому что кинетическая энергия тела увеличилась. Подробно находить ускорение и время движения для этого решения не потребовалось.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать работу равной Fs при любом направлении силы. Так поступают, когда забывают, что важна только составляющая силы вдоль перемещения. Проверка: определите угол α и вычислите cos α; если он не равен единице, в формуле нужен дополнительный множитель.

Вторая ошибка — подставлять в формулу работы длину пройденного пути, не учитывая направление перемещения. Путь показывает длину траектории, а перемещение направлено от начального положения к конечному; при постоянной силе работа зависит от этого направления. Проверяйте, как сила направлена относительно перемещения, особенно если тело двигалось не по прямой.

Третья ошибка — записывать кинетическую энергию как mv/2 или забывать деление на 2. Обычно это происходит из-за невнимательности при записи формулы. Перед вычислением запишите Eк = mv²/2 и отдельно возведите значение скорости в квадрат.

Четвёртая ошибка — приравнивать работу конечной кинетической энергии. Так можно забыть, что тело могло обладать энергией ещё до начала рассматриваемого движения. Проверка проста: применяйте A = Eк₂ − Eк₁ и вычитайте начальное значение из конечного; если энергия выросла, работа должна быть положительной.

Связь с другими темами

Для изучения работы и энергии нужны понятия силы, перемещения и скорости, а также умение пользоваться единицами физических величин. Работа связывает действие силы с изменением энергии и потому помогает изучать закон сохранения и превращения энергии: энергия может передаваться или переходить из одной формы в другую. Теорема о кинетической энергии особенно полезна, когда на тело действуют несколько сил, поскольку в ней учитывается работа их равнодействующей. Её можно применять для анализа движения без отдельного рассмотрения каждого участка пути.

Что запомнить

• Работа постоянной силы зависит от силы, перемещения и угла между ними.
• A = Fs cos α.
• Работа измеряется в джоулях.
• Кинетическая энергия движущегося тела равна Eк = mv²/2.
• Кинетическая энергия зависит от массы тела и квадрата его скорости.
• Работа равнодействующей силы равна изменению кинетической энергии тела.