§ 21. Работа и потенциальная энергия

Определения и обозначения

Работа постоянной силы — величина A = Fs cos α, где F — модуль силы, s — перемещение, α — угол между направлениями силы и перемещения. Работа измеряется в джоулях (Дж): 1 Дж = 1 Н·м. Формула помогает учитывать не только величину силы, но и то, какая её часть действует вдоль движения.

Потенциальная энергия Eп — энергия взаимодействия тел или частей одного тела, зависящая от их взаимного положения. Например, она есть у поднятого над землёй тела и у растянутой пружины. Это понятие позволяет описывать энергию, связанную с возможным изменением положения или формы.

В поле тяжести Земли потенциальная энергия тела относительно выбранного нулевого уровня равна Eп = mgh, где m — масса, g — ускорение свободного падения, h — высота над этим уровнем. Если изменить уровень отсчёта, изменится и численное значение энергии. Формула нужна, чтобы сравнивать энергию тела на разных высотах.

Потенциальная энергия упруго деформированного тела, например пружины, равна Eп = kx²/2. Здесь k — жёсткость пружины, а x — её деформация относительно недеформированного состояния. Квадрат деформации показывает, что энергия зависит и от величины растяжения или сжатия, и от жёсткости.

Как это устроено

Работа характеризует передачу энергии силой во время перемещения. Если тело не перемещается, s = 0, поэтому работа равна нулю, даже если сила действует. При перемещении учитывается только составляющая силы вдоль движения: перпендикулярная составляющая направления не меняет и не передаёт энергию через перемещение.

Знак работы определяется направлением силы относительно перемещения. Когда сила направлена так, что помогает движению, угол острый и cos α положителен; работа положительна. Если сила мешает движению, угол тупой и работа отрицательна, а при угле 90° косинус равен нулю. Поэтому для определения знака полезно сначала изобразить направления силы и перемещения.

При подъёме тела на высоту h₂ − h₁ сила тяжести направлена вниз, а перемещение — вверх. Работа тяжести равна Aтяж = mg(h₁ − h₂): она отрицательна при подъёме и положительна при опускании. Потенциальная энергия меняется на ΔEп = mg(h₂ − h₁), поэтому ΔEп = −Aтяж: если сила тяжести совершает положительную работу, запас потенциальной энергии уменьшается.

Формула Eп = mgh использует высоту относительно нулевого уровня, который можно выбрать условно. Перенос этого уровня изменяет h и тем самым значение Eп в каждом положении на одинаковую величину. При вычитании энергий эта добавка сокращается, поэтому изменение энергии между двумя положениями остаётся прежним.

Сила упругости при растяжении направлена против увеличения деформации, поэтому при растягивании она совершает отрицательную работу. Потенциальная энергия пружины при этом возрастает: ΔEп = k(x₂² − x₁²)/2, а работа силы упругости равна Aупр = −ΔEп. При возвращении пружины к исходному состоянию знак меняется: её потенциальная энергия уменьшается, а сила упругости совершает положительную работу.

Работа силы и потенциальная энергия

В таблице собраны формулы для работы и потенциальной энергии. Сначала определите нужную величину, затем проверьте, какие данные задачи ей соответствуют и в каких единицах они заданы. Для изменения энергии указывайте конечное значение минус начальное, а для работы учитывайте её знак.

Разбор задач

Задача 1. Груз переместили по столу на 5 м, прикладывая силу 20 Н под углом 60° к направлению движения. Найдём работу этой силы. Сначала выделим компонент силы вдоль перемещения, потому что именно она участвует в совершении работы.

1. Используем формулу A = Fs cos α.
2. Подставляем значения: A = 20 · 5 · cos 60°.
3. Так как cos 60° = 0,5, получаем A = 50 Дж.

Ответ: работа равна 50 Дж. Она положительна, поскольку сила имеет составляющую в направлении движения.

Задача 2. Тело массой 2 кг подняли с высоты 1 м на высоту 4 м, а затем опустили обратно на высоту 1 м. Примем g = 10 Н/кг. Рассмотрим каждый участок отдельно, чтобы не перепутать знаки работы и изменения энергии.

1. При подъёме Aтяж = mg(h₁ − h₂) = 2 · 10 · (1 − 4) = −60 Дж.
2. Изменение потенциальной энергии при подъёме: ΔEп = 60 Дж, то есть оно противоположно работе тяжести.
3. При опускании Aтяж = 2 · 10 · (4 − 1) = 60 Дж, а ΔEп = −60 Дж.
4. За весь путь тело вернулось на исходную высоту, поэтому суммарные работа тяжести и изменение потенциальной энергии равны нулю.

Ответ: на подъёме работа −60 Дж, при опускании +60 Дж; изменение потенциальной энергии на этих участках соответственно +60 Дж и −60 Дж.

Задача 3. Пружину жёсткостью 200 Н/м растянули от 0,1 м до 0,2 м. Нужно найти изменение её потенциальной энергии и работу силы упругости. Сравним энергии в начальном и конечном состояниях: работа силы упругости будет противоположна полученному изменению.

1. Вычисляем начальную энергию: Eп₁ = kx₁²/2 = 200 · 0,1²/2 = 1 Дж.
2. Вычисляем конечную энергию: Eп₂ = kx₂²/2 = 200 · 0,2²/2 = 4 Дж.
3. Находим изменение: ΔEп = Eп₂ − Eп₁ = 3 Дж.
4. Работа силы упругости Aупр = −ΔEп = −3 Дж, так как сила препятствует растяжению.

Ответ: потенциальная энергия увеличилась на 3 Дж, работа силы упругости равна −3 Дж.

Типичные ошибки

Ошибка — считать работу равной Fs при любом угле. Так делают, когда забывают, что сила может быть направлена не вдоль движения; это приводит к завышенному или заниженному результату. Проверка: определите α и включите cos α, а при перпендикулярной силе убедитесь, что работа равна нулю.

Работу силы тяжести иногда принимают равной изменению потенциальной энергии с тем же знаком. Причина — обе величины связаны с одним и тем же перемещением, но работа описывает действие силы, а изменение энергии — перемену запаса энергии. Проверка: запишите ΔEп = −Aтяж; при подъёме энергия растёт, а работа тяжести отрицательна.

Потенциальную энергию могут ошибочно считать абсолютной и не зависящей от выбора нулевого уровня. Но Eп = mgh использует высоту именно относительно выбранного уровня, поэтому её численное значение меняется при переносе отсчёта. Проверка: сравните не отдельные значения, а разность энергий двух положений — она от выбора уровня не зависит.

В формулу энергии пружины иногда подставляют её полную длину. Это неверно, потому что формула описывает энергию, запасённую при изменении длины относительно недеформированного состояния. Проверка: найдите именно растяжение или сжатие x, а затем подставьте его в Eп = kx²/2.

Связь с другими темами

Для работы и потенциальной энергии нужны понятия силы, перемещения, массы, ускорения свободного падения и энергии. Также важно уметь находить угол между направлениями силы и перемещения, поскольку от него зависит работа. Связь работы с изменением потенциальной энергии используется при изучении закона сохранения механической энергии. Она помогает решать задачи о движении, где энергия переходит из одного вида в другой.

Что запомнить

• Работа постоянной силы зависит от силы, перемещения и угла между ними.
• Работа силы может быть положительной, отрицательной или нулевой.
• Работа силы тяжести зависит от изменения высоты, а не от формы траектории.
• Изменение потенциальной энергии равно работе соответствующей силы с противоположным знаком.
• Нулевой уровень потенциальной энергии выбирают условно.
• Потенциальная энергия упругой деформации зависит от квадрата деформации.