§ 20. Механическая работа и мощность

Определения и обозначения

Механическая работа — физическая величина, которая характеризует действие силы при перемещении тела; её обозначают буквой A. Работа совершается, когда сила вызывает перемещение, а не просто приложена к телу. Это понятие помогает оценить передачу энергии при движении.

Работа постоянной силы определяется формулой A = Fs cos α. Здесь F — величина силы, s — перемещение тела, а α — угол между направлениями силы и перемещения. Косинус угла учитывает, какая часть силы направлена вдоль перемещения, поэтому формула подходит и для силы, действующей под наклоном.

Мощность — величина, показывающая быстроту совершения работы; её обозначают N. Если за время t выполнена работа A, то N = A/t. Эта формула нужна, чтобы сравнивать, насколько быстро разные устройства или люди выполняют одинаковую работу.

Единица работы в СИ — джоуль (Дж), а единица мощности — ватт (Вт). Один джоуль равен работе силы 1 Н на перемещении 1 м: 1 Дж = 1 Н·м. Один ватт соответствует работе в 1 Дж, совершённой за 1 с: 1 Вт = 1 Дж/с.

Как это устроено

Чтобы сила совершила механическую работу, тело должно переместиться: если оно остаётся на месте, перемещение s равно нулю, и по формуле A = Fs cos α работа также равна нулю. Но одного перемещения недостаточно — на тело должна действовать сила, иначе F = 0 и работа силы равна нулю. Значит, нужны оба условия одновременно: сила и перемещение. Например, удерживая неподвижный груз, человек прикладывает силу, но механическая работа этой силы над грузом равна нулю.

В формуле A = Fs cos α угол показывает, какая часть силы способна действовать вдоль перемещения. При α = 0° направления совпадают, cos 0° = 1, поэтому сила полностью способствует движению и работа положительна. При α = 90° сила направлена поперёк движения, cos 90° = 0, поэтому она не меняет скорость тела вдоль перемещения и её работа равна нулю. При α = 180° сила направлена против перемещения: cos 180° = −1, и работа отрицательна, поскольку сила препятствует движению.

Частные случаи формулы следуют из значений косинуса. Если сила направлена вдоль перемещения, α = 0° и A = Fs; если направления противоположны, α = 180° и A = −Fs. Знак минус не означает, что величина силы или путь отрицательны: он показывает направление действия силы относительно перемещения. Поэтому перед вычислением полезно определить угол или хотя бы понять, помогает сила движению либо мешает ему.

Мощность зависит не только от выполненной работы, но и от времени, за которое она выполнена. Из N = A/t видно: при одной и той же работе уменьшение времени увеличивает мощность, потому что за каждую секунду выполняется больше работы. Например, два подъёмника могут поднять одинаковый груз на одинаковую высоту, но более быстрый подъёмник имеет большую мощность. Значит, работа характеризует результат действия силы, а мощность — темп его достижения.

Если сила постоянна и направлена вдоль перемещения, её работу можно найти по графику зависимости силы от перемещения. На таком графике сила отложена по вертикальной оси, а перемещение — по горизонтальной; площадь прямоугольника под графиком равна произведению F на s. Это произведение и есть работа A = Fs. Для графика с постоянной силой высота прямоугольника равна силе, ширина — перемещению, а площадь помогает увидеть смысл формулы.

Механическая работа и мощность

Пользуйся таблицей, чтобы не перепутать, что именно описывают работа и мощность: величина A связана с силой и перемещением, а N — с работой и временем. Перед подстановкой проверь, совпадают ли единицы с СИ и нужно ли учитывать угол α. Так проще выбрать формулу и записать ответ в правильных единицах.

Разбор задач

Задача 1

На тележку действует сила 10 Н вдоль её перемещения на 3 м. Найдём работу силы. Поскольку направления силы и перемещения совпадают, угол α равен 0°, а cos 0° = 1.

1. Запишем формулу для постоянной силы: A = Fs cos α.
2. Подставим данные: A = 10 Н · 3 м · cos 0° = 30 Н·м.
3. Используем равенство 1 Н·м = 1 Дж и укажем единицу работы.

Ответ: работа силы равна 30 Дж.

Задача 2

Сила 20 Н направлена под углом 60° к перемещению тела на 5 м. Требуется найти работу этой силы. Здесь нельзя сразу умножить силу на весь путь: часть силы направлена поперёк перемещения и не совершает работу в этом направлении.

1. Выберем формулу с учётом угла: A = Fs cos α.
2. Подставим величины и значение cos 60° = 0,5: A = 20 Н · 5 м · 0,5.
3. Вычислим: A = 50 Н·м = 50 Дж.

Ответ: работа силы равна 50 Дж. Она положительна, потому что угол 60° острый и сила имеет составляющую вдоль перемещения.

Задача 3

Подъёмник за 20 с совершил работу 12 кДж. Найдём его мощность и выразим результат в киловаттах. Сначала переведём работу в джоули, чтобы подставить величины в единицах СИ; затем вычислим мощность по времени.

1. Переведём работу: 12 кДж = 12 000 Дж.
2. Запишем формулу и подставим значения: N = A/t = 12 000 Дж / 20 с.
3. Вычислим: N = 600 Дж/с = 600 Вт; поскольку 1 кВт = 1000 Вт, получим 0,6 кВт.

Ответ: мощность подъёмника равна 600 Вт, или 0,6 кВт.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что любая приложенная сила совершает работу. Так думают, потому что в быту усилие часто воспринимают как работу, но в физике важны и перемещение, и направление силы. Если перемещения нет, либо сила перпендикулярна ему, работа этой силы равна нулю. Проверь себя: есть ли в условии перемещение и имеет ли сила составляющую вдоль него?

Ошибка — подставлять в A = Fs любые силу и путь, не учитывая угол между ними. Такое упрощение допустимо лишь при совпадении направлений силы и перемещения. Если сила наклонена, используй A = Fs cos α: в работу входит только составляющая силы вдоль перемещения. Для самопроверки сначала отметь направления и найди угол.

Ошибка — считать работу отрицательной по определению или, наоборот, всегда положительной. Знак задаётся направлением силы относительно перемещения: сила по движению совершает положительную работу, против движения — отрицательную. Отрицательный результат не является ошибкой, если сила препятствует перемещению. Проверь знак по углу: при тупом угле косинус отрицателен.

Ошибка — путать работу с мощностью и их единицы. Работа измеряется в джоулях, а мощность — в ваттах; это разные величины, потому что мощность учитывает ещё и время. Путаница возникает из-за того, что обе величины связаны с выполненной работой. Проверь себя по формулам: A = Fs cos α, N = A/t, а единицы соответственно Дж и Вт.

Связь с другими темами

Для изучения работы нужны понятия силы и перемещения: также важно различать равномерное движение и уметь работать с единицами СИ. Угол между силой и перемещением связан с проекциями векторов — так находят часть силы, направленную вдоль движения. Позже работа поможет разбирать закон сохранения и превращения энергии, а мощность пригодится для сравнения двигателей и других устройств. Эти понятия позволяют оценивать не только движение тела, но и эффективность его изменения.

Что запомнить

• Работа постоянной силы равна A = Fs cos α.
• Если сила направлена вдоль перемещения, A = Fs.
• Если сила перпендикулярна перемещению, её работа равна нулю.
• Работа силы, направленной против перемещения, отрицательна.
• Мощность равна отношению работы ко времени: N = A/t.
• Единица работы — джоуль, единица мощности — ватт.
• 1 Вт = 1 Дж/с.