"Физика. Базовый и профильный уровни", Тихомирова С.А., Яворский Б.М.
Механическая энергия описывает способность тела или системы совершать работу и складывается из кинетической и потенциальной. При движении без трения энергия не исчезает: потенциальная превращается в кинетическую, а затем может переходить обратно. Поэтому, зная состояние тела в одной точке, можно определить его скорость, высоту или деформацию в другой. Закон сохранения механической энергии особенно удобен для задач о падении, маятниках и пружинах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Механическая энергия — сумма кинетической и потенциальной энергий тела или системы: E = Eₖ + Eₚ. Величина E показывает общий запас энергии движения и взаимодействия, а измеряется в джоулях (Дж). Разделение на два слагаемых помогает понять, за счёт чего меняется движение.
Кинетическая энергия — энергия движущегося тела: Eₖ = mv²/2, где m — масса, а v — скорость. Чем тяжелее тело и чем быстрее оно движется, тем больше его кинетическая энергия. Формула нужна для связи скорости с работой сил.
Потенциальная энергия — энергия взаимодействия тел или частей системы, зависящая от их взаимного положения. У поверхности Земли Eₚ = mgh, а для упругой деформации Eₚ = kx²/2, где h — высота, k — жёсткость пружины, x — деформация. Она позволяет учитывать энергию поднятого тела и растянутой или сжатой пружины.
Консервативная сила — сила, работа которой не зависит от траектории, а определяется только начальным и конечным положениями. К ней относят силу тяжести и силу упругости. Благодаря этому их работа связывает изменение потенциальной энергии с изменением кинетической.
Работа равнодействующей силы изменяет кинетическую энергию тела: A = ΔEₖ = Eₖ2 − Eₖ1. Если работа положительна, тело получает энергию и ускоряется, а при отрицательной работе теряет кинетическую энергию. Поэтому скорость меняется не сама по себе, а из-за действия сил на перемещении.
При действии силы тяжести или силы упругости уменьшение потенциальной энергии сопровождается увеличением кинетической. Например, падающее тело теряет энергию положения, потому что высота уменьшается, и приобретает энергию движения. При подъёме или торможении происходит обратное превращение.
Изменения двух видов энергии взаимно компенсируются: насколько уменьшается потенциальная энергия, настолько возрастает кинетическая, и наоборот. Причина этого в том, что работа консервативной силы может быть выражена через изменение потенциальной энергии. Поэтому сумма Eₖ + Eₚ не меняется.
Закон сохранения механической энергии формулируют так: в замкнутой системе, где действуют только консервативные силы, Eₖ1 + Eₚ1 = Eₖ2 + Eₚ2. Замкнутой считают систему, на которую не влияют существенные внешние силы. Закон позволяет не находить время движения и подробно не исследовать траекторию.
При трении или сопротивлении механическая энергия не сохраняется, потому что неконсервативные силы совершают работу. Часть энергии движения переходит во внутреннюю энергию тел, что проявляется, например, в нагревании. Тогда уравнение составляют с учётом работы этих сил или отдельно рассматривают общий закон сохранения энергии.
| Условия движения | Изменение кинетической энергии | Изменение потенциальной энергии | Что происходит с механической энергией |
|---|---|---|---|
| Действует только сила тяжести | Растёт при падении, уменьшается при подъёме | Уменьшается при падении, растёт при подъёме | Сохраняется |
| Действует только сила упругости | Растёт при распрямлении пружины | Уменьшается при распрямлении | Сохраняется |
| Действуют сила тяжести и сила упругости | Меняется за счёт обеих сил | Меняется сумма гравитационной и упругой энергий | Сохраняется |
| Есть трение или сопротивление | Обычно уменьшается | Может изменяться | Уменьшается, переходя во внутреннюю энергию |
Сначала определите, какие силы действуют и какие виды потенциальной энергии нужно учитывать. Затем сравните начальное и конечное состояния по соответствующей строке.
Если есть трение, равенство механических энергий без дополнительного слагаемого применять нельзя.
Тело массой 2 кг падает без начальной скорости с высоты 5 м. Сопротивлением воздуха пренебрегаем. Требуется найти скорость перед ударом о землю.
Ответ: скорость тела перед ударом примерно 9,9 м/с. Масса не влияет на результат, потому что одинаково входит в обе энергии.
Маятник отпущен из положения, где его центр масс поднят на 0,20 м относительно нижней точки. Начальная скорость равна нулю. Нужно найти скорость в нижней точке.
Ответ: скорость маятника в нижней точке примерно 2,0 м/с. Масса маятника снова сокращается из уравнения.
Пружина жёсткостью 400 Н/м сжата на 0,10 м и разгоняет тело массой 0,50 кг по горизонтали. Трения нет. Найдём скорость тела после распрямления пружины.
Ответ: скорость тела равна примерно 2,8 м/с. Горизонтальность движения означает, что гравитационная потенциальная энергия здесь не меняется.
Считать механической энергией только кинетическую или только потенциальную неправильно, потому что полная энергия равна их сумме. Так ошибаются, когда замечают лишь движение или только высоту. Проверьте себя: в уравнении должны присутствовать все виды энергии, которые изменяются.
Нельзя применять сохранение механической энергии при заметном трении без поправки. Трение переводит часть энергии во внутреннюю, поэтому конечная механическая энергия меньше начальной. Уточните в условии, сказано ли «трения нет» или им можно пренебречь.
Высоту и деформацию нельзя подставлять без выбора нулевого уровня потенциальной энергии. Нулевой уровень выбирается произвольно, но одинаково для обоих состояний. Проверьте, измеряете ли вы h относительно выбранного уровня, а x — от недеформированного положения.
В формуле Eₖ = mv²/2 стоит квадрат скорости, а не сама скорость. Подстановка v вместо v² нарушает размерность и даёт неверный результат. После вычислений проверьте единицы: энергия должна получиться в джоулях.
Для применения закона нужны формулы кинетической и потенциальной энергии, а также понятия работы силы и изменения кинетической энергии.
Закон используется при изучении колебаний, движения в поле тяготения и упругих взаимодействий: он связывает разные состояния системы без подробного расчёта времени.
Если появляется трение, тему связывают с законом сохранения и превращения энергии и с внутренней энергией. Механическая энергия уменьшается, но общая энергия замкнутой системы сохраняется.
Что именно сохраняется при движении тела без трения?
Сохраняется полная механическая энергия: сумма кинетической и потенциальной. Отдельные виды энергии могут изменяться, но их сумма остаётся постоянной.
Можно ли выбрать нулевой уровень потенциальной энергии произвольно?
Да, нулевой уровень можно выбрать удобно для решения задачи. Важно использовать один и тот же уровень при сравнении начального и конечного состояний.
Почему при падении потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая растёт?
При уменьшении высоты сила тяжести совершает положительную работу и увеличивает скорость тела. Потеря потенциальной энергии равна приросту кинетической, если сопротивлением воздуха пренебречь.
Сохраняется ли механическая энергия при наличии трения?
В обычном виде — нет: трение уменьшает механическую энергию. Она переходит главным образом во внутреннюю энергию тела и окружающей среды.
Как выбрать начальное и конечное состояния для применения закона сохранения энергии?
Выберите два момента, между которыми удобно сравнить высоту, скорость или деформацию. Обычно берут начало и конец движения либо положения, где одна из энергий равна нулю.
§ 30. Закон сохранения механической энергии
