§ 29. Работа силы упругости

Определения и обозначения

Сила упругости — сила, возникающая при деформации тела и стремящаяся вернуть его к исходной форме. При растяжении пружины она направлена к положению недеформированного тела, а при сжатии — от сжатого участка наружу. Это помогает определить направление силы и знак её работы.

Закон Гука описывает зависимость модуля силы упругости от деформации: F_упр = kx. Здесь k — жёсткость тела, а x — модуль деформации, то есть растяжения или сжатия. Закон используют только при упругих, обычно небольших, деформациях, когда тело после снятия нагрузки возвращается к исходной форме.

Работа силы упругости — работа, совершаемая этой силой при изменении деформации. Она определяется не только величиной перемещения, но и тем, как менялась сила, поэтому зависит от начальной и конечной деформаций. По знаку работы можно понять, увеличилась или уменьшилась энергия пружины.

Потенциальная энергия упругой деформации — энергия, запасённая деформированным телом. Для пружины она равна E_п = kx²/2. Это понятие позволяет заменить непосредственный расчёт работы рассмотрением превращений энергии.

Как это устроено

При растяжении или сжатии пружины её деформация меняется во время движения. По закону Гука вместе с ней меняется и модуль силы: в начале он меньше, а в конце больше. Поэтому формула A = Fs для постоянной силы здесь неприменима: на разных участках пути сила совершает разную работу.

Работу переменной силы можно представить геометрически. На графике зависимости F от x она равна площади под графиком между начальной и конечной деформациями. При законе Гука график является прямой, проходящей через начало координат, поэтому площадь от 0 до x имеет форму треугольника и равна kx²/2.

Если пружину медленно растягивают от недеформированного состояния до деформации x, внешняя сила совершает положительную работу: она передаёт энергию пружине. Её величина равна kx²/2. Сила упругости направлена противоположно перемещению, поэтому её работа равна −kx²/2.

При переходе от деформации x₁ к деформации x₂ нужно вычесть энергии начального и конечного состояний: A_упр = k(x₁² − x₂²)/2. Если пружину растягивают, x₂ больше x₁ и работа отрицательна; если пружина возвращается, работа положительна. Формула содержит только два состояния, потому что сила упругости является консервативной: её работа не зависит от пути.

Потенциальная энергия пружины равна E_п = kx²/2, а работа силы упругости — её убыль: A_упр = −ΔE_п. Минус показывает, что при увеличении энергии пружины сила совершает отрицательную работу, а при уменьшении — положительную. В системе без потерь уменьшение энергии пружины превращается, например, в кинетическую энергию тела, поэтому сохраняется полная механическая энергия.

Сила упругости, работа и энергия пружины

Сначала определите начальную и конечную деформации, затем выберите строку таблицы с подходящим процессом. Следите за единицами: жёсткость берут в Н/м, а деформацию — в метрах; знак работы проверяйте по направлению силы и движения.

Разбор задач

Задача 1

Пружину жёсткостью 200 Н/м растянули из недеформированного состояния на 5 см. Требуется найти работу силы упругости. Поскольку пружина растягивается от нулевой деформации, используем формулу для перехода от x₁ = 0 к x₂ = x.

1. Переведём деформацию: x = 5 см = 0,05 м.
2. Подставим данные: A_упр = −kx²/2 = −200 · 0,05²/2.
3. Вычислим: A_упр = −0,25 Дж. Минус означает, что сила упругости направлена против растяжения.

Ответ: −0,25 Дж.

Задача 2

Пружину жёсткостью 300 Н/м растянули от 2 см до 6 см. Начальная деформация уже не равна нулю, поэтому формулу −kx²/2 применять целиком нельзя. Нужно учесть энергию и начального, и конечного состояния.

1. Переведём деформации: x₁ = 0,02 м, x₂ = 0,06 м.
2. Используем формулу: A_упр = k(x₁² − x₂²)/2.
3. Получим A_упр = 300(0,02² − 0,06²)/2 = −0,48 Дж.

Ответ: −0,48 Дж. Работа отрицательна, потому что деформация увеличилась.

Задача 3

Тело массой 0,5 кг отпускают с высоты 0,8 м над вертикальной пружиной жёсткостью 400 Н/м. Сопротивлением воздуха пренебрегаем, а максимальное сжатие обозначим x. В этот момент тело на мгновение останавливается, поэтому его кинетическая энергия снова равна нулю.

1. Тело опускается на расстояние 0,8 + x, поэтому потеря гравитационной энергии равна mg(0,8 + x).
2. Она превращается в энергию пружины: mg(0,8 + x) = kx²/2.
3. При g ≈ 10 м/с²: 5(0,8 + x) = 200x², то есть 200x² − 5x − 4 = 0.
4. Положительный корень равен x ≈ 0,155 м; отрицательный корень физического смысла не имеет.

Ответ: максимальное сжатие пружины примерно 0,155 м, или 15,5 см.

Типичные ошибки

Считать силу постоянной. Так делают, перенося формулу A = Fs на пружину без учёта закона Гука. Проверьте себя по графику: если сила меняется от нуля до конечного значения, нужна площадь треугольника или формула с квадратом деформации.

Приравнивать работы силы упругости и внешней силы. При медленном растяжении их модули действительно совпадают, но направления сил противоположны. Поэтому знаки различаются: работа внешней силы положительна, а работа упругости отрицательна.

Подставлять сантиметры. Такая ошибка появляется, когда длину не переводят в СИ перед вычислением. Жёсткость измеряется в Н/м, значит, деформацию нужно записывать в метрах; полезно отдельно проверить единицу результата — джоуль.

Использовать kx²/2 между любыми деформациями. Эта формула описывает переход от нулевой деформации к x, а не произвольный переход. Если есть x₁ и x₂, подставляйте их в k(x₁² − x₂²)/2 и проверьте знак по изменению энергии.

Связь с другими темами

До изучения работы силы упругости нужно знать работу постоянной силы, проекцию силы на направление перемещения и закон Гука. Эти знания объясняют, почему при переменной силе приходится учитывать график зависимости силы от деформации.

Тема связывает механическую работу с потенциальной энергией. Формула A_упр = −ΔE_п является частным случаем закона сохранения механической энергии и помогает решать задачи без подробного рассмотрения движения.

Понятия особенно полезны при изучении колебаний пружинного маятника. Во время колебаний энергия попеременно переходит из потенциальной энергии пружины в кинетическую и обратно.

Что запомнить

• Сила упругости при малых деформациях подчиняется закону Гука.
• При изменении деформации сила упругости не остаётся постоянной.
• Работа силы упругости при переходе от x₁ к x₂ равна k(x₁² − x₂²)/2.
• При растяжении пружины из недеформированного состояния работа силы упругости отрицательна.
• Потенциальная энергия упругой деформации равна kx²/2.
• Работа силы упругости равна убыли потенциальной энергии.