"Физика. Базовый и углубленный уровни (в 2 частях) ", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
Сила упругости возникает, когда тело растягивают, сжимают или иначе деформируют, и стремится вернуть его к исходной форме. При малых деформациях её описывает закон Гука: Fупр = −kx. Поскольку сила меняется вместе с деформацией, работу нельзя вычислять как для постоянной силы. Для пружины она определяется только начальной и конечной деформациями: A = k(x₁² − x₂²)/2. Это помогает понять, когда сила упругости совершает положительную или отрицательную работу.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сила упругости — сила, возникающая при деформации тела и направленная против неё. В одномерном случае её проекция выражается законом Гука: Fупр = −kx. Эта формула нужна, чтобы определить не только величину силы, но и её направление.
Деформация x — изменение размера или формы тела относительно недеформированного состояния. Для пружины это изменение её длины по сравнению с длиной без нагрузки. Знак x зависит от того, куда направлена выбранная ось: поэтому он помогает записать направление силы в формуле.
Жёсткость k — коэффициент в законе Гука, характеризующий сопротивление тела деформации. Чем больше k, тем сильнее нужно воздействовать, чтобы растянуть или сжать тело на одну и ту же величину. Жёсткость измеряют в Н/м.
Работа силы упругости — работа, совершаемая этой силой, когда деформация меняется. Она зависит от начальной и конечной деформаций, а не только от того, как двигалось тело между ними. Это позволяет рассчитывать работу силы, величина которой меняется в процессе движения.
Если пружину растянуть или сжать, её части смещаются относительно положения равновесия. Упругие взаимодействия внутри тела стремятся вернуть его к исходной форме, поэтому сила направлена против вызвавшей деформацию. При небольших деформациях модуль этой силы пропорционален x, а знак минус в Fупр = −kx показывает противоположность направлений. Закон Гука применим только в тех пределах, где такая пропорциональность сохраняется.
При перемещении пружины её деформация обычно меняется, а вместе с ней меняется и сила: чем сильнее растяжение или сжатие, тем больше модуль силы упругости. Формула работы постоянной силы предполагает, что сила не меняет величину и направление на участке пути. Поэтому нельзя просто взять начальную или конечную силу и умножить её на весь путь. Нужно учитывать все промежуточные значения силы.
Пусть деформация изменилась от x₁ до x₂, а направление оси выбрано так, что проекция силы равна −kx. Тогда работа равна A = k(x₁² − x₂²)/2. Результат получается из суммирования работы на малых участках, где деформация и сила меняются незначительно. Изменение направления оси меняет знаки координат, но не квадраты x₁ и x₂, поэтому итоговая формула сохраняет тот же смысл.
На графике проекции силы от координаты работа связана с площадью между графиком и осью координат: площадь учитывается со знаком. При движении от деформированного состояния к недеформированному сила направлена в сторону перемещения, поэтому работа положительна. При увеличении деформации тело движется против силы упругости, и работа отрицательна. Площадь помогает увидеть результат, но знак определяется направлением силы относительно перемещения.
Поскольку выражение для работы зависит только от начального и конечного значений деформации, разные пути между одинаковыми состояниями дают одинаковую работу. Это свойство называют независимостью работы от пути. Если тело за полный цикл вернулось к исходной деформации, начальное и конечное значения совпадают, поэтому работа силы упругости равна нулю. Это верно в рамках закона Гука и при отсутствии потерь, связанных с неупругими изменениями.
| Переход | Работа силы упругости | Знак работы | Физический смысл |
|---|---|---|---|
| От x₁ до x₂ | A = k(x₁² − x₂²)/2 | Зависит от изменения модуля деформации | Сила помогает уменьшать деформацию или препятствует её увеличению |
| От деформации x до недеформированного состояния | A = kx²/2 | Положительный | Сила возвращает тело к исходной форме |
| От недеформированного состояния до деформации x | A = −kx²/2 | Отрицательный | Для деформации нужно преодолевать силу упругости |
| Возврат из деформированного состояния к исходному | A = 0 за полный цикл | Нулевой | Работы на участках цикла взаимно компенсируются |
Сначала определите начальную и конечную деформации относительно недеформированного состояния, затем подставьте их в общую формулу. Для проверки знака выясните, увеличивается или уменьшается модуль деформации. При переходе к недеформированному состоянию работа силы упругости положительна.
Пружину жёсткостью 200 Н/м растянули от 0 до 0,10 м. Найдём работу силы упругости: сила препятствует растяжению, поэтому ожидается отрицательный результат.
Пружина жёсткостью 300 Н/м была растянута на 0,08 м, затем деформацию уменьшили до 0,03 м. Пружина движется к исходному состоянию, поэтому работа силы упругости должна быть положительной.
Пружина жёсткостью 400 Н/м сжата на 0,06 м, затем её отпустили. Найдём работу силы упругости, когда сжатие уменьшится до 0,02 м.
Ошибка — считать силу упругости постоянной на всём пути. Её часто допускают, замечая, что пружина движется по прямой, и забывая, что деформация меняется вместе с положением. Проверьте себя: если x меняется, то по закону Гука меняется и Fупр. Для работы используйте формулу с начальной и конечной деформациями, а не произведение одной силы на весь путь.
Ошибка — забывать минус в законе Гука и направлять силу упругости так же, как деформацию. Такое происходит, если воспринимать x только как величину растяжения или сжатия, не задавая ось. Проверьте направление: при отклонении тела от равновесия сила стремится уменьшить это отклонение. Поэтому проекция силы и координата деформации имеют противоположные знаки.
Ошибка — считать работу силы упругости отрицательной при любом движении. Так рассуждают, запоминая только, что сила направлена против деформации, но не сравнивая её направление с перемещением. Проверьте, растёт или уменьшается модуль деформации: при увеличении сила обычно тормозит движение, а при уменьшении помогает ему. Знак работы также проверяется по формуле: A = k(x₁² − x₂²)/2.
Ошибка — подставлять в формулу длину пружины вместо деформации. Это путают, потому что длина легко измеряется, но закон Гука связывает силу именно с изменением длины относительно недеформированного состояния. Проверьте, вычли ли вы длину ненагруженной пружины из текущей длины. В формулу работы нужно подставлять деформации, выраженные в метрах.
Для этой темы нужны закон Гука, понятия силы и деформации, а также формула работы постоянной силы. Здесь формулу работы приходится обобщать на случай, когда сила меняется во время движения. Работа силы упругости связана с потенциальной энергией упруго деформированного тела и законом сохранения механической энергии: при распрямлении энергия деформации может переходить в другие виды энергии. Расчёт работы переменной силы пригодится и при изучении других сил, величина которых зависит от положения тела.
Почему в законе Гука стоит знак минус?
Знак минус показывает, что сила упругости направлена против деформации. Если смещение от положения равновесия положительное, сила стремится вернуть тело в обратную сторону.
Почему работу силы упругости нельзя считать по формуле для постоянной силы?
При изменении деформации меняется и сила: по закону Гука её модуль равен k|x|. Формула A = Fs cos α для постоянной силы здесь напрямую неприменима; нужно учитывать изменение силы на всём пути.
Когда работа силы упругости положительна, а когда отрицательна?
Если деформация уменьшается и тело возвращается к недеформированному состоянию, сила упругости обычно совершает положительную работу. При увеличении деформации сила направлена против перемещения, поэтому её работа отрицательна.
Нужно ли учитывать знак сжатия или растяжения в формуле работы?
В законе Гука знак x нужен: он зависит от того, как выбрана ось, и показывает направление деформации. В формуле работы используются квадраты деформаций, поэтому для растяжения и сжатия одинаковой величины результат одинаков.
От чего зависит работа силы упругости: от пути или только от начального и конечного состояний?
В пределах закона Гука работа зависит только от начальной и конечной деформаций. Поэтому при переходе между одинаковыми состояниями она одна и та же, а за полный цикл возвращения в исходное состояние равна нулю.
3. Работа силы упругости
