2. Работа силы тяжести

Определения и обозначения

Работа силы — скалярная величина, равная произведению модуля силы на перемещение и косинус угла между ними: A = Fs cos α. Здесь F — сила, s — перемещение, α — угол между их направлениями; работа измеряется в джоулях (Дж). Эта формула нужна, чтобы определить, передаёт ли сила энергию телу и сколько энергии передаёт.

Работа силы тяжести — работа силы, с которой Земля притягивает тело. Для тела массой m у поверхности Земли силу тяжести считают равной mg, где g — ускорение свободного падения, примерно 9,8 м/с². Это позволяет выражать работу через массу и изменение высоты, не вычисляя всю траекторию движения.

Потенциальная энергия тела в поле тяжести — энергия, зависящая от положения тела. Вблизи поверхности Земли её изменение связано с изменением высоты: при подъёме энергия увеличивается, а при опускании уменьшается. Понятие помогает описывать запас энергии, который может перейти, например, в кинетическую энергию движущегося тела.

Нулевая высота потенциальной энергии — выбранный уровень, относительно которого отсчитывают высоту и потенциальную энергию. Уровень можно провести через пол, поверхность земли или любую другую удобную точку. Выбор нужен для расчёта значения энергии, но не влияет на её изменение при перемещении между двумя точками.

Как это устроено

Знак работы определяется направлением силы относительно перемещения. При движении вниз перемещение направлено примерно так же, как сила тяжести, поэтому угол между ними равен 0° и работа положительна. При подъёме угол равен 180°, поэтому работа отрицательна: сила мешает перемещению. Если тело движется горизонтально, сила тяжести перпендикулярна пути, а cos 90° = 0, поэтому её работа равна нулю.

Для перемещения из высоты h₁ на высоту h₂ работа силы тяжести равна A тяжести = mg(h₁ − h₂). Если тело опускается, h₁ больше h₂ и работа положительна; если поднимается, разность отрицательна. Такая запись показывает, что для расчёта нужны масса и две высоты, а длина пути в формулу не входит.

Работа не зависит от формы траектории, потому что сила тяжести направлена вертикально. На горизонтальных участках движения она перпендикулярна перемещению и не совершает работы; на участках с изменением высоты вклад определяется только тем, насколько тело поднялось или опустилось. Поэтому для любых двух путей между одними и теми же точками суммарная работа силы тяжести одинакова.

Изменение потенциальной энергии связано с работой силы тяжести противоположным знаком: ΔEₚ = −A тяжести. Когда тело опускается, сила тяжести совершает положительную работу, а энергия положения уменьшается. При подъёме сила тяжести совершает отрицательную работу, зато потенциальная энергия возрастает на соответствующую величину.

Нулевой уровень энергии выбирают произвольно, поскольку физический смысл имеет не отдельное значение потенциальной энергии, а её изменение. Если перенести нулевой уровень, значения энергии в обеих точках изменятся на одинаковую величину. Их разность останется прежней, поэтому не изменятся ни работа силы тяжести, ни изменение потенциальной энергии.

Работа силы тяжести при перемещении тела

Сначала сравните начальную и конечную высоты: это подскажет знак работы и изменения энергии. Затем используйте формулу A тяжести = mg(h₁ − h₂), не подменяя разность высот длиной пути. Для изменения потенциальной энергии возьмите работу с противоположным знаком.

Разбор задач

Тело массой 2 кг опустили на 3 м. Найдите работу силы тяжести.

1. Выбираем направление вниз: сила тяжести направлена так же, как перемещение, значит, работа будет положительной.
2. Начальная высота выше конечной на 3 м, поэтому h₁ − h₂ = 3 м. Подставляем в формулу: A тяжести = mg(h₁ − h₂).
3. Принимаем g ≈ 9,8 м/с² и вычисляем: A тяжести = 2 · 9,8 · 3 = 58,8 Дж.

Ответ: работа силы тяжести равна 58,8 Дж.

Тело массой 0,5 кг подняли на высоту 4 м. Определите работу силы тяжести и изменение потенциальной энергии.

1. При подъёме высота конечного положения больше начальной на 4 м. Сила тяжести направлена вниз, то есть против перемещения, поэтому её работа отрицательна.
2. Вычисляем работу: A тяжести = −mgh = −0,5 · 9,8 · 4 = −19,6 Дж. Минус соответствует направлению силы против перемещения.
3. Изменение потенциальной энергии равно работе с противоположным знаком: ΔEₚ = −A тяжести = 19,6 Дж.

Ответ: работа силы тяжести равна −19,6 Дж, потенциальная энергия увеличилась на 19,6 Дж.

Тело переместили из одной точки в другую по наклонной траектории. Разность высот точек равна 5 м, масса тела — 3 кг. Найдите работу силы тяжести и сравните её с работой при вертикальном перемещении между этими точками.

1. В условии не уточнено, движется тело вверх или вниз, поэтому сначала определяем знак по направлению перемещения. Если тело опускается на 5 м, работа положительна; если поднимается на 5 м — отрицательна.
2. Модуль работы в обоих случаях равен mg · 5 м = 3 · 9,8 · 5 = 147 Дж. Длина наклонного пути не требуется: сила тяжести зависит только от разности высот.
3. При вертикальном перемещении между теми же точками изменение высоты такое же, поэтому работа совпадает и по величине, и по знаку.

Ответ: работа равна 147 Дж при движении вниз или −147 Дж при движении вверх; она такая же, как при вертикальном перемещении.

Типичные ошибки

• Считать работу силы тяжести всегда положительной — ошибка, потому что при подъёме сила направлена против перемещения. Такое заблуждение возникает, если подставлять только положительные значения в формулу. Проверьте угол между силой и перемещением: при подъёме он больше 90°, значит, работа отрицательна.

• Подставлять длину траектории вместо разности высот неверно: сила тяжести не совершает работу на горизонтальных участках пути. Обычно длину берут потому, что она указана в условии, но для этой силы она не определяет работу. Проверьте, есть ли в расчёте h₁ − h₂, а не длина наклонного пути.

• Путать работу силы тяжести с изменением потенциальной энергии — значит ошибаться в знаке. Причина в том, что обе величины описывают одну и ту же передачу энергии. Проверьте связь ΔEₚ = −A тяжести: при опускании работа положительна, а изменение энергии отрицательно.

• Считать потенциальную энергию имеющей единственное абсолютное значение неправильно, потому что её отсчёт зависит от выбранного нулевого уровня. В расчётах часто принимают удобный уровень за ноль и забывают, что это условность. Проверьте, какой уровень выбран, и сравнивайте энергии или высоты относительно него.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны определение механической работы, формула работы постоянной силы и понимание проекции силы на направление перемещения. Они объясняют, почему в расчёте появляется косинус угла и как определить знак работы. Позже связь работы силы тяжести с потенциальной энергией станет основой изучения закона сохранения механической энергии. Эти знания пригодятся в задачах о движении и изменении высоты тел в поле тяжести.

Что запомнить

• Работа силы тяжести зависит только от начальной и конечной высоты.
• При движении вниз сила тяжести совершает положительную работу.
• При движении вверх работа силы тяжести отрицательна.
• При горизонтальном перемещении работа силы тяжести равна нулю.
• A тяжести = mg(h₁ − h₂).
• Изменение потенциальной энергии равно −A тяжести.
• Нулевой уровень потенциальной энергии выбирают произвольно.