2. Работа силы тяжести

Определения и обозначения

Сила тяжести — сила, с которой Земля притягивает тело; у поверхности Земли её модуль равен mg, а направлена она вертикально вниз. Здесь m — масса тела, g — ускорение свободного падения. Это позволяет определить, какая сила действует на тело при движении около поверхности Земли.

Работа силы тяжести — работа, совершаемая этой силой при перемещении тела; её обозначают Aтяж. Она показывает, как действие силы связано с перемещением и изменением энергии тела. По знаку работы можно понять, помогает сила тяжести движению или направлена против него.

Высота — координата тела по вертикали относительно выбранного уровня отсчёта; её обозначают h. Ноль высоты можно выбрать в удобном месте, например на полу или на поверхности земли. Для расчёта работы важна разность высот, поэтому выбор уровня сам по себе результата не меняет.

Работа на замкнутом пути — суммарная работа силы тяжести, когда тело возвращается в исходную точку; она равна нулю. В начальной и конечной точках тело имеет одинаковую высоту. Это определение помогает проверять расчёты для движений, состоящих из нескольких участков.

Как это устроено

При вертикальном движении знак работы зависит от того, совпадает ли направление перемещения с направлением силы. Сила тяжести направлена вниз, поэтому при движении вниз она действует вдоль перемещения и совершает положительную работу. При подъёме сила направлена против перемещения, и работа отрицательна: тело поднимают, преодолевая притяжение Земли.

Для пути по наклонной траектории работа выражается через изменение высоты: Aтяж = mg(h₁ − h₂), где h₁ — начальная, а h₂ — конечная высота. Причина в том, что сила тяжести действует вертикально: вклад в работу даёт вертикальная составляющая перемещения. Горизонтальные участки перемещения перпендикулярны силе и вклада не дают.

Из формулы видно, что при заданных начальной и конечной высотах результат не меняется, даже если тело прошло по разным траекториям. Изменение длины пути может изменить время движения, но не вертикальное перемещение между точками. Поэтому для расчёта не требуется знать форму траектории: достаточно сравнить высоты в начале и конце.

На горизонтальном участке высота остаётся прежней, то есть h₁ − h₂ = 0, и работа силы тяжести равна нулю. Если тело движется по замкнутому пути, оно возвращается на исходную высоту, поэтому суммарная работа также равна нулю. Отдельные участки могут давать ненулевые работы, но их вклады взаимно компенсируются.

Работа силы тяжести равна убыли потенциальной энергии: Aтяж = Eп₁ − Eп₂. При подъёме высота и потенциальная энергия увеличиваются, поэтому работа силы тяжести отрицательна. При спуске потенциальная энергия уменьшается, а работа силы тяжести положительна: сила способствует движению вниз.

Работа силы тяжести при разных перемещениях

Найдите в таблице тип перемещения и сопоставьте начальную и конечную высоты. Затем проверьте знак: при уменьшении высоты работа положительна, при увеличении — отрицательна. Для сложного пути применяйте общую формулу к начальной и конечной точкам.

Разбор задач

Спуск на 3 м

Тело массой 2 кг опустили на 3 м; g = 10 Н/кг. Требуется найти работу силы тяжести. Поскольку тело движется вниз, сила тяжести направлена вдоль перемещения и работа должна получиться положительной.

1. Запишем формулу: Aтяж = mg(h₁ − h₂).
2. При спуске h₁ − h₂ = 3 м, поэтому подставим данные: Aтяж = 2 кг · 10 Н/кг · 3 м.
3. Вычислим произведение: Aтяж = 60 Дж. Единица работы — джоуль, поскольку 1 Н · м = 1 Дж.

Ответ: 60 Дж. Получился положительный результат, как и должно быть при движении вниз.

Движение по наклонной плоскости

Тело массой 4 кг переместили по наклонной плоскости длиной 5 м на высоту 3 м; g = 10 Н/кг. Нужно найти работу силы тяжести. Длина плоскости здесь не определяет работу: сила тяжести связана с вертикальным изменением положения тела.

1. Учитываем подъём на 3 м: конечная высота больше начальной, поэтому h₁ − h₂ = −3 м.
2. Подставляем значения в формулу: Aтяж = 4 кг · 10 Н/кг · (−3 м).
3. Вычисляем: Aтяж = −120 Дж. Отрицательный знак показывает, что сила тяжести направлена против перемещения вверх.

Ответ: −120 Дж. Значение длины наклонной плоскости 5 м для этого вычисления не требуется.

Подъём и возвращение

Тело массой 1,5 кг подняли на 6 м, а затем опустили в исходную точку по другой траектории; g = 10 Н/кг. Найдём работу отдельно на подъёме и спуске, потому что направления перемещения относительно силы тяжести различаются. За весь путь сравним начальную и конечную высоты.

1. На подъёме высота увеличивается на 6 м: A₁ = mg(−6 м) = 1,5 · 10 · (−6) = −90 Дж.
2. На спуске тело теряет те же 6 м высоты: A₂ = mg · 6 м = 1,5 · 10 · 6 = 90 Дж.
3. Складываем работы участков: Aобщ = A₁ + A₂ = −90 Дж + 90 Дж = 0 Дж. Иная форма траектории спуска не изменяет итог.

Ответ: при подъёме −90 Дж, при спуске 90 Дж, за весь путь 0 Дж. Результат согласуется с тем, что тело вернулось на исходную высоту.

Типичные ошибки

Ошибка — считать работу силы тяжести положительной при подъёме. Так происходит, если учитывать только величины силы и перемещения, забывая об их направлениях. Проверка проста: при подъёме сила направлена против движения, поэтому знак работы должен быть отрицательным.

Ошибка — умножать силу тяжести на длину наклонной траектории. Так поступают, перенося на задачу формулу для движения вдоль направления силы, хотя на наклонном пути сила тяжести направлена не вдоль перемещения. Проверьте расчёт через вертикальную разность высот: длина наклонного пути в формулу Aтяж = mg(h₁ − h₂) не входит.

Ошибка — перепутать начальную и конечную высоты. При такой перестановке знак результата изменится на противоположный, и подъём ошибочно даст положительную работу. Перед подстановкой укажите, какая высота относится к началу и какая — к концу, затем проверьте знак по направлению движения.

Ошибка — считать, что на замкнутом пути работа не равна нулю из-за различия траекторий отдельных участков. Это рассуждение учитывает форму пути, но упускает, что тело возвращается в исходное положение и на исходную высоту. Для проверки используйте начальную и конечную высоты: при их равенстве суммарная работа силы тяжести равна нулю.

Связь с другими темами

Для решения задач нужно знать механическую работу постоянной силы: она определяется проекцией силы на направление перемещения. Этот способ объясняет, почему перпендикулярная перемещению сила не совершает работы. Также важно уметь находить силу тяжести по формуле Fтяж = mg и определять вертикальное изменение высоты.

Работа силы тяжести связана с потенциальной энергией и помогает понять закон сохранения механической энергии. Если сила тяжести совершает работу, потенциальная энергия тела изменяется на противоположную величину. Это частный случай работы консервативной силы — силы, работа которой зависит только от начального и конечного положений.

Что запомнить

• Работа силы тяжести зависит только от начальной и конечной высоты.
• Aтяж = mg(h₁ − h₂).
• При движении вниз работа силы тяжести положительна.
• При движении вверх работа силы тяжести отрицательна.
• При перемещении по горизонтали работа силы тяжести равна нулю.
• На замкнутом пути суммарная работа силы тяжести равна нулю.
• Работа силы тяжести равна убыли потенциальной энергии.