1. Определение работы

Определения и обозначения

Механическая работа — физическая величина, равная произведению модуля силы, перемещения и косинуса угла между ними; обозначается A. Она показывает, как сила участвует в изменении энергии тела при движении. Поэтому для расчёта недостаточно знать только силу: нужно учитывать ещё перемещение и направление действия силы.

Перемещение — направленный отрезок от начального положения тела к конечному; в формуле работы учитывается его модуль s. Модуль — это длина перемещения без указания направления. Он нужен, чтобы подставлять в формулу положительное числовое значение, а направление учитывать отдельно, через угол между векторами.

Проекция силы на направление перемещения — составляющая силы вдоль перемещения, равная F cos α. Здесь F — модуль силы, а α — угол между силой и перемещением. Именно эта часть силы может передавать энергию вдоль движения, поэтому через неё удобно объяснять, почему поперечная или направленная назад сила даёт иной результат.

Джоуль — единица работы в СИ: 1 Дж — работа силы 1 Н при перемещении на 1 м в направлении силы. Это определение соответствует формуле работы, когда α = 0° и cos α = 1. Джоули позволяют сравнивать результаты расчётов, даже если силы и перемещения в задачах различаются.

Как это устроено

Работа характеризует передачу энергии при действии силы во время перемещения. Сила может быть приложена, но не вызвать перемещения, например если тело удерживают неподвижно. В таком случае в формуле s = 0, поэтому работа этой силы равна нулю: для механической работы нужны и сила, и перемещение.

К работе приводит только составляющая силы вдоль перемещения, поэтому A = Fs cos α, где α — угол между силой и перемещением. Силу можно мысленно разложить на две составляющие: вдоль движения и поперёк него. Поперечная составляющая не продвигает тело по направлению перемещения, а продольная равна F cos α; умножив её на путь s, получаем работу.

Знак работы определяется направлением составляющей силы. При остром угле cos α положителен: сила имеет составляющую по ходу движения и передаёт телу энергию. При тупом угле составляющая направлена против перемещения, поэтому работа отрицательна; при прямом угле cos α = 0, и сила не влияет на движение вдоль этого перемещения.

Частные случаи получаются из общей формулы, если подставить характерный угол. При движении вдоль силы α = 0°, а cos 0° = 1, поэтому A = Fs. Если сила направлена противоположно перемещению, α = 180° и cos 180° = −1; если сила перпендикулярна ему, α = 90° и cos 90° = 0, так что работа равна нулю.

Единица работы следует из формулы: сила измеряется в ньютонах, перемещение — в метрах, а косинус угла безразмерен. Поэтому единица произведения Fs — ньютон-метр, который называют джоулем: 1 Дж = 1 Н·м. Перед подстановкой величин важно перевести силу в ньютоны, а перемещение — в метры, иначе численный ответ не будет выражен в джоулях.

Механическая работа: формула, знак и единица

В таблице собраны формула работы постоянной силы и её результаты для разных направлений. Сначала сравните направление силы с перемещением, затем выберите соответствующую строку. Последняя строка помогает проверить, в каких единицах записывать ответ.

Разбор задач

Сила 10 Н перемещает тело на 3 м в направлении силы. Нужно найти работу этой силы. Поскольку сила и перемещение сонаправлены, угол между ними равен нулю, а косинус равен единице.

1. Записываем общую формулу: A = Fs cos α.
2. Для движения вдоль силы используем cos 0° = 1, поэтому A = Fs.
3. Подставляем значения: A = 10 Н · 3 м = 30 Н·м = 30 Дж.

Ответ: 30 Дж. Работа положительна, потому что сила направлена по ходу перемещения. Результат записан в джоулях, так как сила задана в ньютонах, а перемещение — в метрах.

На тело действует сила 20 Н под углом 60° к перемещению 4 м. Требуется определить работу этой силы. Здесь нельзя использовать только произведение Fs: сила направлена не вдоль движения, поэтому нужно учесть её проекцию.

1. Берём формулу A = Fs cos α.
2. Подставляем F = 20 Н, s = 4 м и cos 60° = 0,5.
3. Вычисляем: A = 20 · 4 · 0,5 = 40 Дж.

Ответ: 40 Дж. Угол острый, значит составляющая силы направлена по перемещению и работа положительна. Значение меньше, чем Fs = 80 Н·м, поскольку вдоль движения действует только часть силы.

Тело перемещается на 5 м; сила сопротивления 8 Н направлена против движения, а приложенная сила 12 Н — вдоль него. Нужно найти работу каждой силы и их суммарную работу. Сначала рассматриваем силы отдельно, потому что их направления и знаки различаются.

1. Для приложенной силы A₁ = 12 · 5 = 60 Дж: она сонаправлена с перемещением.
2. Для сопротивления A₂ = −8 · 5 = −40 Дж: сила направлена против движения.
3. Складываем работы с учётом знаков: Aобщ = 60 + (−40) = 20 Дж.

Ответ: работа приложенной силы — 60 Дж, сила сопротивления совершает работу −40 Дж, суммарная работа равна 20 Дж. Отрицательную работу сопротивления нельзя заменять положительной величиной при сложении. Суммарный результат положителен, потому что работа приложенной силы по модулю больше.

Типичные ошибки

Ошибка — записывать A = Fs независимо от направления силы. Так поступают, когда запоминают частный случай движения вдоль силы, но забывают об угле; при других направлениях результат может иметь неверную величину или знак. Проверка: сначала запишите A = Fs cos α, а затем выясните, равен ли угол нулю.

Иногда вместо угла между силой и перемещением берут угол между силой и осью или траекторией. Причина — смешение геометрического положения векторов с направлением конкретного перемещения. Для самопроверки изобразите оба вектора из одной точки и найдите угол именно между ними; ось используйте только тогда, когда по ней задано направление перемещения.

Считать работу силы сопротивления положительной — ещё одна частая ошибка. Её допускают, если учитывают только модуль силы и не связывают знак с направлением; однако сопротивление направлено против движения, поэтому работа отрицательна. Проверьте знак через угол: он тупой, косинус отрицателен, значит A < 0.

Нельзя считать, что сила обязательно совершает работу, раз она приложена к телу. Это заблуждение возникает из-за того, что действие силы принимают за достаточное условие, хотя в формуле есть перемещение и угол. Проверьте два случая: при s = 0 работа нулевая, а при α = 90° равна нулю даже при ненулевых силе и перемещении.

Связь с другими темами

Для работы с формулой полезно уметь находить модуль перемещения и угол между векторами. Если известны компоненты силы или её направление относительно осей, понадобится проекция вектора на направление движения. Эти навыки помогают не путать угол в формуле с произвольным углом на рисунке и правильно определять знак результата.

Понятие работы связывает действие силы с изменением энергии. Оно пригодится при изучении энергии и теоремы о кинетической энергии, которая связывает суммарную работу сил с изменением кинетической энергии тела. Позже та же идея поможет разбирать закон сохранения энергии и переходы энергии из одной формы в другую.

Что запомнить

• Работа постоянной силы: A = Fs cos α.
• В работу вносит вклад составляющая силы вдоль перемещения.
• При остром угле между силой и перемещением работа положительна.
• При тупом угле работа отрицательна.
• Если сила перпендикулярна перемещению, её работа равна нулю.
• Единица работы в СИ — джоуль: 1 Дж = 1 Н·м.