§ 12. Механическая работа. Мощность

Определения и обозначения

Механическая работа — физическая величина, которая характеризует действие силы при перемещении тела. Её обозначают латинской буквой A. Работа описывает передачу энергии: если сила помогает перемещению, она совершает положительную работу, а если мешает ему — отрицательную.

Для постоянной силы работа вычисляется по формуле A = Fs cos α. Здесь F — модуль силы, s — модуль перемещения тела, а α — угол между направлениями силы и перемещения. Эта формула нужна, чтобы учесть не только величину силы и пройденный путь, но и то, насколько сила направлена вдоль движения.

Мощность — физическая величина, показывающая, насколько быстро совершается работа. Её обозначают буквой N. Сравнивая мощность, можно понять, какой механизм выполняет одинаковую работу за меньшее время или какую работу он способен выполнить за заданное время.

Единица работы в СИ — джоуль: 1 Дж = 1 Н·м. Один джоуль работы совершает сила 1 Н, перемещая тело на 1 м вдоль направления силы. Единица мощности — ватт: 1 Вт = 1 Дж/с, то есть мощность равна одному ватту, если за каждую секунду совершается работа в один джоуль.

Как это устроено

Работа зависит от угла между силой и перемещением, потому что не вся сила помогает телу двигаться вдоль траектории. На перемещение влияет составляющая силы, направленная вдоль него; поперечная составляющая меняет направление движения, но не продвигает тело по этому перемещению. Поэтому в формуле появляется cos α: произведение F cos α как раз даёт продольную составляющую силы. Чем меньше эта составляющая, тем меньше работа при тех же силе и перемещении.

Знак работы показывает, передаёт сила энергию телу или отнимает её у него. Когда сила направлена по движению, угол α острый и cos α положителен, поэтому работа положительна. Если сила направлена против перемещения, угол равен 180° и работа отрицательна: сила препятствует движению. При перпендикулярной силе cos 90° = 0, а без перемещения s = 0, поэтому в обоих случаях работа равна нулю.

Формула A = Fs cos α получается из определения работы через перемещение вдоль направления силы. Проекция силы на направление движения равна F cos α, а её работа — произведению этой проекции на путь s. Если направления силы и перемещения совпадают, α = 0° и cos 0° = 1, поэтому A = Fs. Если они перпендикулярны, cos 90° = 0 и A = 0.

Работа сама по себе не сообщает, сколько времени потребовалось на её выполнение. Один и тот же подъём груза можно совершить медленно или быстро, затратив одинаковую работу, но во втором случае мощность будет больше. Средняя мощность равна отношению работы ко времени: N = A/t, где t — время выполнения работы. Значит, при одной и той же работе сокращение времени увеличивает мощность.

Мощность можно выразить через силу и скорость, если тело перемещается под действием этой силы. За короткое время тело проходит расстояние, равное произведению скорости на время; подстановка этого перемещения в формулу работы даёт N = Fv cos α. При движении вдоль силы α = 0°, поэтому формула упрощается до N = Fv. В общем случае в расчёт входит только составляющая силы вдоль скорости.

Механическая работа и мощность

Таблица помогает выбрать нужную величину: если вопрос о действии силы на перемещение, ищите работу, а если о скорости выполнения действия — мощность. Перед подстановкой проверьте, известен ли угол и все ли величины выражены в единицах СИ. Для связи мощности с силой и скоростью используйте N = Fv, когда движение направлено вдоль силы.

Разбор задач

Сила направлена вдоль движения

Тело переместили на 5 м, приложив силу 10 Н вдоль направления движения. Найдём работу силы. Поскольку сила и перемещение направлены одинаково, угол между ними равен нулю, и работа положительна.

1. Записываем формулу работы постоянной силы: A = Fs cos α. Она позволяет учесть угол между силой и перемещением.
2. Подставляем значения: F = 10 Н, s = 5 м, α = 0°. Получаем A = 10 · 5 · cos 0° = 50 Дж.
3. Проверяем единицы: ньютон, умноженный на метр, даёт джоуль. Положительный знак согласуется с тем, что сила направлена по движению.

Ответ: 50 Дж.

Сила направлена под углом

Сила 20 Н перемещает тело на 3 м под углом 60° к направлению перемещения. Здесь нельзя просто перемножить силу и путь: лишь часть силы направлена вдоль движения. Учитываем эту часть с помощью косинуса угла.

1. Используем формулу A = Fs cos α. В условии указаны F = 20 Н, s = 3 м и α = 60°.
2. Подставляем данные: A = 20 · 3 · cos 60°. Поскольку cos 60° = 0,5, получаем A = 60 · 0,5 = 30 Дж.
3. Проверяем результат: работа меньше произведения Fs = 60 Дж, потому что сила направлена не полностью вдоль перемещения. Угол острый, значит, работа положительна.

Ответ: 30 Дж.

Мощность подъёмника

Подъёмник равномерно поднимает груз массой 200 кг на высоту 6 м за 12 с. Требуется найти его среднюю мощность при g = 10 м/с². Равномерный подъём означает, что сила подъёмника уравновешивает силу тяжести, поэтому работа подъёмника равна mgh.

1. Находим работу при подъёме: A = mgh = 200 · 10 · 6 = 12 000 Дж. Работа положительна, так как сила подъёмника и перемещение направлены вверх.
2. Средняя мощность равна работе, делённой на время: N = A/t. Подставляем A = 12 000 Дж и t = 12 с.
3. Вычисляем N = 12 000/12 = 1000 Вт. Единица получена в СИ, поскольку джоули разделены на секунды.

Ответ: 1000 Вт, или 1 кВт.

Типичные ошибки

Ошибка: считать работу равной Fs при любом направлении силы. Так поступают, когда забывают, что перемещение вдоль движения создаёт только составляющая силы F cos α. Перед вычислением проверьте угол; при α = 0° множитель cos α равен единице, но в остальных случаях его нельзя убирать.

Ошибка: записывать работу силы, направленной против перемещения, положительной. Причина — привычка считать работу просто произведением двух положительных чисел. Проверьте направление силы и знак cos α: для угла 180° косинус отрицательный, следовательно, отрицательна и работа.

Ошибка: путать работу с мощностью. Работа показывает передачу энергии и измеряется в джоулях, а мощность характеризует скорость выполнения работы и измеряется в ваттах. Чтобы проверить себя, спросите, учитывается ли в задаче время: в N = A/t оно обязательно, а в формуле работы его нет.

Ошибка: подставлять время в минутах или величины в несогласованных единицах. Это приводит к ответу, который нельзя правильно выразить в джоулях или ваттах. Перед расчётом переведите минуты в секунды, а значения силы, пути и массы — в единицы СИ, если они заданы иначе.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны понятия силы, перемещения, скорости и времени, а также умение находить угол между векторами. Сила и перемещение позволяют вычислить работу, а время и скорость помогают описать, как быстро она совершается. Без понимания направления векторов нельзя правильно определить знак работы.

Работа связана с изменением кинетической и потенциальной энергии: действие сил может изменить скорость тела или его положение. Эти представления понадобятся при изучении закона сохранения энергии. Работа и мощность также применяются для описания механизмов и двигателей, сравнения их производительности и анализа преобразования энергии.

Что запомнить

• Работа постоянной силы равна A = Fs cos α.
• Работа — скалярная величина и может быть положительной, отрицательной или нулевой.
• Единица работы в СИ — джоуль: 1 Дж = 1 Н·м.
• Средняя мощность равна работе, совершённой за единицу времени: N = A/t.
• Единица мощности в СИ — ватт: 1 Вт = 1 Дж/с.
• При движении вдоль силы мощность можно найти по формуле N = Fv.