§ 28. Механическая работа. Мощность

Определения и обозначения

Механическая работа — физическая величина, равная произведению модуля силы, перемещения и косинуса угла между ними: A = F·s·cos α. Её обозначают буквой A и измеряют в джоулях. Работа показывает, какую часть действия силы связывают с перемещением тела.

Работа постоянной силы — работа силы, величина и направление которой не изменяются на рассматриваемом участке: A = F·s·cos α. Здесь F — модуль силы, s — перемещение, α — угол между векторами силы и перемещения. Формула нужна, чтобы учитывать не только величину силы, но и её направление.

Мощность — физическая величина, характеризующая быстроту совершения работы; её обозначают N или P. Одинаковую работу можно выполнить быстро или медленно, поэтому одной работы недостаточно для сравнения механизмов. Мощность показывает, сколько работы выполняется за единицу времени.

Средняя мощность — отношение совершённой работы ко времени её выполнения: Nср = A/t. Она описывает весь процесс в целом, даже если сила или скорость менялись. В СИ мощность измеряется в ваттах, а 1 Вт равен 1 Дж/с.

Как это устроено

Механическая работа возникает только тогда, когда на тело действует сила и тело перемещается. Если силы нет, нечему изменять движение, а без перемещения точка приложения силы не проходит путь. Векторная запись A = F·s·cos α означает скалярное произведение: учитывается только составляющая силы вдоль перемещения.

Угол между силой и перемещением определяет, помогает сила движению или мешает ему. При остром угле cos α положителен, поэтому работа положительна; при прямом угле cos α = 0, и сила не передаёт энергию вдоль пути. При тупом угле косинус отрицателен, значит работа отрицательна.

Тяга двигателя направлена обычно по движению автомобиля, поэтому совершает положительную работу и увеличивает энергию тела. Сила трения направлена против движения, так что её работа отрицательна и механическая энергия уменьшается. Реакция опоры при горизонтальном движении перпендикулярна перемещению, поэтому её работа равна нулю, хотя сама сила действует.

Из определения средней мощности следует формула Nср = A/t: нужно разделить общий результат работы на время его получения. Два подъёмника могут выполнить одну и ту же работу, но тот, который затратил меньше времени, имеет большую мощность. Поэтому мощность характеризует не объём работы сам по себе, а скорость её выполнения.

Если сила и скорость в данный момент известны, за малое время тело перемещается со скоростью v, и работа силы за это время связана с произведением F·v·cos α. Деление работы на это малое время даёт мгновенную мощность: N = F·v·cos α. При постоянной силе вдоль движения угол равен нулю, поэтому N = F·v.

Механическая работа и мощность

В таблице сначала определите, какая сила рассматривается и под каким углом она направлена к перемещению. Затем выберите формулу и проверьте единицы измерения. Знак работы помогает понять, увеличивает ли сила энергию тела или уменьшает её.

Разбор задач

Задача 1

Ящик перемещают на s = 6 м горизонтальной силой F = 40 Н. Сила направлена вдоль перемещения, поэтому α = 0°. Нужно найти работу именно этой силы. В таком случае косинус угла равен единице.

1. Записываем формулу: A = F·s·cos α.
2. Подставляем данные: A = 40 · 6 · cos 0° = 40 · 6 · 1 = 240 Дж.
3. Знак положительный, потому что сила направлена в сторону движения.

Ответ: работа силы равна 240 Дж.

Задача 2

Тело перемещают на 5 м силой 80 Н под углом 60° к перемещению, а сила трения 20 Н направлена противоположно движению. Сначала найдём работу внешней силы, затем работу трения. После этого сложим работы, поскольку результирующая работа равна сумме работ всех сил.

1. Для внешней силы: A₁ = 80 · 5 · cos 60° = 80 · 5 · 0,5 = 200 Дж.
2. Для трения угол равен 180°, поэтому Aтр = 20 · 5 · cos 180° = −100 Дж.
3. Суммарная работа: Aобщ = A₁ + Aтр = 200 − 100 = 100 Дж.

Ответ: внешняя сила совершает работу 200 Дж, трение — −100 Дж, сумма работ равна 100 Дж.

Задача 3

Подъёмник равномерно поднимает груз массой 200 кг на высоту 12 м за 20 с. Возьмём g ≈ 9,8 Н/кг, поэтому полезная работа подъёма равна mgh. Сначала определим полезную мощность, а затем учтём КПД 80%.

1. Работа подъёма: A = mgh = 200 · 9,8 · 12 = 23 520 Дж.
2. Средняя полезная мощность: Nпол = A/t = 23 520/20 = 1176 Вт.
3. При η = 0,8 мощность подъёмника: N = Nпол/η = 1176/0,8 = 1470 Вт.

Ответ: полезная средняя мощность равна 1176 Вт, а с учётом КПД необходимая мощность подъёмника — 1470 Вт, или 1,47 кВт.

Типичные ошибки

Ошибка: использовать A = F·s без косинуса, когда сила направлена под углом к перемещению. Так поступают, перенося формулу для движения вдоль силы на любой случай. Проверьте направление векторов и добавьте множитель cos α.

Ошибка: считать работу трения положительной только потому, что модуль силы трения не равен нулю. Трение обычно направлено против перемещения, поэтому угол равен 180°, а работа отрицательна. Перед вычислением определите направление силы относительно движения.

Ошибка: путать работу и мощность. Работа характеризует общий результат действия силы и измеряется в джоулях, а мощность показывает скорость выполнения работы и измеряется в ваттах. Проверьте, требуется ли найти A или отношение A/t.

Ошибка: подставлять в формулу мощности расстояние вместо работы или оставлять время в минутах. В формуле Nср = A/t в числителе должна быть работа в джоулях, а время — в секундах. Проверьте размерность: результат должен иметь единицу Дж/с, то есть Вт.

Связь с другими темами

До изучения работы нужны знания о векторах силы и перемещения, угле между векторами и равнодействующей сил. Также необходимо уметь переводить физические величины в единицы СИ. Это позволяет правильно определить угол и знак работы.

Работа связывает действие силы с изменением энергии тела. Поэтому она используется при изучении кинетической и потенциальной энергии, а также закона сохранения и превращения энергии. Сумма работ сил помогает анализировать изменение движения.

Мощность необходима для расчёта характеристик двигателей, подъёмников и электроприборов. Вместе с работой она применяется при определении коэффициента полезного действия. Чем больше мощность при той же работе, тем меньше времени требуется механизму.

Что запомнить

• Работа постоянной силы равна A = F·s·cos α.
• Работа — скалярная величина и измеряется в джоулях.
• Работа положительна при остром угле между силой и перемещением.
• Работа равна нулю, если перемещения нет или сила перпендикулярна перемещению.
• Мощность равна отношению работы ко времени: Nср = A/t.
• Единица мощности в СИ — ватт: 1 Вт = 1 Дж/с.
• При движении тела мощность силы можно определить по формуле N = F·v·cos α.